級数の収束を確認します $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Question

次の級数が収束するかどうかを確認したい。

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

ここで上限を見つけて、比較テストを適用する必要があると思います。しかし、私は私たちがどの限界をとることができるのか本当にわかりません。ヒントを教えていただけますか？

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}$

形の産物である用語があります $\frac{2i-1}{2i}=1-\frac{1}{2i}$。比較テストを適用するには、上限を見つける必要があります。それはそれを保持しますか$1-\frac{1}{2i}\leq \frac{1}{2}$ など $$\prod_{i=1}^n\left (1-\frac{1}{2i}\right )\leq \prod_{i=1}^n \frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}$$ それから私達が得る合計を取る $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}\leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}=1$$ したがって、比較テストから、元の合計も収束する必要があります。

すべてが正しいですか？

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n\cdot (2n+2)}}$

形の産物である用語があります $\frac{2i-1}{2i+2}$。この場合、どの上限を使用できますか？

Answer 1

いくつかのヒント：

まず、ラーベのテストを使用できます$$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) = \frac{n}{2(n+1)}$$

二番目に $$\frac{1}{2\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{2} \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2n}}\quad (1)$$

証明：

ために $n=1$ 我々は持っています $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} $、だから仮定しましょう $n \geqslant 2$。我々は持っています$$\frac{3}{4}>\frac{2}{3}, \frac{5}{6}>\frac{4}{5},\frac{7}{8}>\frac{6}{7}, \cdots, \frac{2n-1}{2n}>\frac{2n-2}{2n-1}$$ この不等式が与える乗算 $$\frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{2}{3} \frac{4}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}$$ さて、左側と右側を左側に掛けると、 $$\left( \frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \right)^2 > \frac{1}{n} $$ （1）の左側です。

Answer 2

スターリング近似は $\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{n\pi}}$、 そう $\frac{n!^24^n}{(2n+1)!}\sim\frac{\sqrt{\pi}/2}{\sqrt{n}}$、したがって、シリーズは発散します。