毎回 $\sigma(E',E)$-デュアルバナッハ空間での連続線形汎関数 $E'$ 必然的にポイント評価？
$\newcommand{\bf}[1]{\mathbb #1}\newcommand{\sc}[1]{\mathscr #1}$2つのベクトル空間間の双対性$E$ そして $F$ 以上 $\bf K$ （（$= {\bf R}$ の ${\bf C}$）は、定義上、双線形形式です $$ \langle \cdot, \cdot\rangle :E\times F\to \bf K, $$ そのような場合 $\langle x, y\rangle =0$ すべてのための $x$ に $E$、その後 $y=0$。およびその逆。
上記のような二重性が与えられると、1つは上の弱いトポロジーを定義します$F$、通常は $\sigma (F,E)$、線形汎関数が従う最も粗いトポロジーである $$ y\in F\mapsto \langle x, y\rangle \in \bf K $$ すべてのために継続的です $x$ に $E$。
それは古典的な事実です $\sigma (F,E)$-連続線形関数 $\varphi :F\to \bf K$、のベクトルで表すことができます$E$ （必然的にユニークな）存在するという意味で $x$ に $E$ そのような $$ \phi(y) = \langle x, y\rangle ,\quad\forall y\in E. $$
したがって、次のように尋ねることができます。
質問。連続性が置き換えられている場合は、上記まだホールドを行い、順次継続。言い換えれば、すべてを順番に行う必要があります$\sigma (F, E)$-連続線形汎関数 $F$ のベクトルで表されます $E$。
読者がそれを証明または反証するタスクにジャンプする前に、残念ながら答えは否定的であると言わせてください。反例を以下に示します。
ですから、状況に限定して、これを少し専門的にしましょう。 $E$ バナッハ空間であり、 $F$ は、そのトポロジカルデュアルであり、正規のデュアル性を備えています $$ \langle x, \varphi \rangle = \varphi (x), \quad \forall x\in E, \quad \forall \varphi \in E'. $$
正確には：
質問。しましょう$E$ バナッハ空間になりましょう $\varphi $ 上の線形汎関数である $E'$ これは順番に $\sigma (E',E)$-継続的。です$\varphi $ 必然的にベクトルで表される $E$？
これは明らかに真実です $E$ 反射的であり、私もそれを証明できると思います $E=c_0$、および $E=\ell ^1$。
反例
しましょう $E=\sc F(H)$ ヒルベルト空間上のすべての有限階作用素の集合であり、 $F=\sc B(H)$、トレースによって定義された二重性、すなわち $$ \langle S, T\rangle = \text{tr}(ST), \quad\forall S\in \sc F(H), \quad\forall T\in \sc B(H). $$
この場合 $\sigma \big (\sc B(H),\sc F(H)\big )$ シグマの弱作用素位相と一致する弱作用素位相（WOT）であることが判明しました（$\sigma $-WOT）の有界サブセット $\sc B(H)$。
WOT収束シーケンスはBanach-Steinhaussによって制限されているため、WOT収束シーケンスは $\sigma $-WOT収束のもの。したがって、$\sigma $-WOT-連続線形汎関数 $\sc B(H)$また、WOT-continuousです。すべてのトレースクラス演算子について、長い話を短くする$S$ オン $H$ 無限ランクの線形汎関数 $$ T\in \sc B(H) \mapsto \text{tr}(ST)\in {\bf C} $$ シーケンシャルWOT連続ですが、の演算子では表されません $\sc F(H)$。
回答
Mikael de la Salleは、これは次の場合に当てはまると指摘しています。 $E$ConwayのCorollaryV.12.8、A Course in Functional Analysis、2eに示されているように、は分離可能です。
分離できない反例については、数えられない順序空間を考慮してください $[0, \omega_1]$、コンパクトなハウスドルフであり、 $E = C([0, \omega_1])$。リースの表現定理により、$E'$ 署名されたラドン測度のスペースです $\mu$ オン $[0, \omega_1]$その全変動ノルムで。しましょう$\varphi(\mu) = \mu(\{\omega_1\})$。これは明らかにのベクトルによって表されていません$E$ 関数以来 $1_{\{\omega_1\}}$ 継続的ではありませんが、私は主張します $\varphi$ 順次です $\sigma(E', E)$ 継続的。
しましょう $\mu_n$ で0に収束するシーケンスである $\sigma(E', E)$ 修正します $\epsilon > 0$。それぞれ以来$\mu_n$ ラドンであるため、その全変動測度も同様です $|\mu_n|$、したがって、近似することができます $\{\omega_1\}$ に $|\mu_n|$-オープンセットで外部から測定します。だから存在する$\alpha_n < \omega_1$ そのような $|\mu_n|((\alpha_n, \omega_1)) < \epsilon$。しましょう$\alpha = \sup_n \alpha_n < \omega_1$; その後$|\mu_n((\alpha, \omega_1))| \le |\mu_n|((\alpha, \omega_1)) < \epsilon$ すべてのための $n$。
定義する $f : [0, \omega_1] \to \mathbb{R}$ 沿って $$f(x) = \begin{cases} 0, & x \le \alpha \\ 1, & x > \alpha \end{cases}$$ と注意してください $f$継続的です。今$$\varphi(\mu_n) = \mu_n(\{\omega_1\}) = \mu_n((\alpha, \omega_1]) - \mu_n((\alpha, \omega_1)) = \int f\,d\mu_n - \mu_n((\alpha, \omega_1)).$$
しかし、仮定によって $\int f\,d\mu_n \to 0$、および $|\mu_n((\alpha, \omega_1))| < \epsilon$、だから私たちは結論します $\varphi(\mu_n) \to 0$。