マニホールド上で規定された近隣を見つける

Question

滑らかな多様体が与えられた場合、開集合に対してそれを証明します $U\subset M$ 私たちは常に閉集合を見つけることができます $\bar{B}\subset U$ そのような $B$ ある地点の近隣です $p\in U$。

私の試み：以来 $M$ 通常のボールの基礎を持っている、存在する $B\subset U$ これは通常のボールなので、別のボールが存在します $B'$ そのような $\bar{B}\subset B'$。しかし、それを示す方法はに含まれています$U$？

Answer 1

選択 $p\in U$ 座標ボールを選択します $V\ni p$ と $V\subseteq U$。微分同相写像があるようにこのボールを選ぶことができます$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$。次に、設定します $W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$、そして注意してください $\overline{W}\subseteq U$ そしてそれ $W$ の近所です $p$。

注：最初の選択肢 $V$ 座標開集合による基底があるので可能です。