$\mathrm{mod}\:p$ ザリスキートポロジーに関するガロア表現

Question

しましょう $G$ある数体の絶対ガロア群である。半単純な連続表現はありますか$G\to GL_n(\overline{\mathbb{F}_p})$ （後者はザリスキートポロジーを持っています）無限のイメージで？

Answer 1

いいえ。簡単な証明では、ガロア群のようなコンパクトな位相群でのハール測度の存在を使用します。

カーネルは、無限のインデックスを持つガロア群の閉部分群であるため、Haaメジャーがあります。 $0$。ただし、$GL_n (\overline{\mathbb F_p})$ 可算であり、ガロア群をカバーする翻訳が数え切れないほど多いので、ガロア群は測定値を持っているでしょう $0$、それが測定を持っているという事実と矛盾する $1$。

ハール測度を回避するより直接的な証拠も機能するようにできると確信しています。