モース理論愛好家のための次のステップ？
この質問がMOに本当に適しているかどうかはわかりませんが、ここに行きます。私はモース理論がとても好きで、さらにどのような方向に進むことができるか知りたいのですが、完全な非専門家として、私は見るのに苦労しています。これらの方向性と私が読むべき場所を特定するために転送します。以下に、私の経歴と特定の興味について言及し、次に私が聞いたことがある、または疑問に思ったことについて言及します。私のレベルに適した参考文献、またはさらに良いことに、歴史的または最近のモースの軌跡のスケッチをいただければ幸いです。
私はミルナーのモース理論とH-コボルディズム定理に関する講義を読みました（後者は私の学部論文の主題でした）。モースホモロジーについても少し読んだ。問題は、モース理論に関する私の知識が、詳細な知識だけでなく、テーマや軌跡の観点からもそこで終わるということだと思います。そのため、次にどこを見ればよいかわからなくなります。 （現時点での）私の主な関心は、微分トポロジーとシンプレクティックなものです。この質問に妥当な範囲を与えるために、ここにいくつかの制限があります。
- この質問は、他のものへのモース理論の適用ではなく、「モース理論」（ある広い意味で）のトピックに関係しています。私も間違いなくそれらに興味がありますが、そのリストは終わりがないでしょう。特に、トーリックの好奇心を別の質問に移しています。
- 離散的または階層化されたモールス理論とは対照的に、私は主に多様なものに興味があります。
- このコンテキストでは、有限の次元に制限することはまったく問題ありません。ヒルベルト/バナッハ多様体などについて議論する必要があることは承知していますが、それらについては何も知りません。フレアー理論を完全に非合法化することはできないかもしれませんが、最終的にはそれについて学ぶつもりですが、それは私の現在の範囲を超えていると思います。
これが私が疑問に思ったいくつかの特定の事柄です：
コホモロジー積：モース・スメール対の場合、カップ積（またはそのポアンカレ双対）は、不安定多様体/安定多様体の交点数によって計算できると思いますが、これについては詳しく説明していません。シュヴァルツのモースホモロジー（私は読んでいない）の終わり近くで、彼はカップ積を通常の特異コホモロジー構造に類似したスタイルで定義します。おそらく最も興味深いのは、深谷の「モースホモトピー」の第1章の製品です。$A^\infty\!$-カテゴリーとフレアーホモロジー。」私はまだこれを読んでいませんが、近い将来に読むことを望んでいます。私がここで見逃したモースコホモロジーのカップ積の他の主要な見解はありますか？
CW構造：でモース理論、ミルナーは、細胞を添加した後（すなわち、細胞が唯一の低次元に細胞を付着）実際のCW構造を得るために周りにスライドさせることにより、マニホールドを記載しています。これは便利ですが、すぐにマニフォールドを置き去りにし、マップをアタッチするホモトッピングについての質問になります。不安定/安定多様体は、ハンドル分解に関する重要な詳細層を追加しますが、モース・スメールペアを使用しても、「アタッチ」マップは連続性に失敗することで有名です。これを修正するのは厄介な質問のようで、答えがどこにあるのかわかりません。私が正しく理解していれば、これは動線のモジュライ空間のコンパクト化に関連しているので、おそらく答えはSchwarzの本またはHutchingsのメモにありますか？ （このMOの質問へのコメントはハッチングスの主張は誤って述べられていると主張している。）誠実なCW構造は、コーエン-ジョーンズ-シーガルが「モース理論と分類空間」で探していたものに関連しているのだろうか？（繰り返しになりますが、私は読んでいませんが、興味をそそられ、読みたいと思っています。）
有限体積法：私が興味を持ったが読んでいない別の論文は、ハーベイとローソンの「有限体積法とモース理論」です。前述の不連続性の問題を回避し、その過程でモース理論のまったく新しいスキーマを作成するための美しい方法のように思われます。しかし、それを読むことはおそらく最初に流れについて学ぶことを含むでしょう…それ自体は非常にエレガントに見えますが、必要な背景を学ぶ動機として、この理論がどこに行き、何が行われているのかを知ることは興味深いかもしれません。
Cerf理論：Cerf理論について少し聞いたことがありますが、実際には参照が見つかりません（フランス語を話さないため、英語で）。異なるハンドル分解間の関係を理解する方法として、追求することは非常に自然なことのように思えます。おそらく、Cerfの論文の難しさ/長さのために人気がないのでしょうか？または、このMOの質問で述べたように、後でハッチャー、イグサ、クライン（そしておそらく他の人たち、私はこの分野について何も知らない）のフレーム化された機能作業に含まれていたのでしょうか？私はこれについて適切な質問をするのに十分なことさえ本当に知りませんが、もっと学ぶ方法についての提案があればいいのですが。
その他：モース理論の愛好家に提案するその他の主要な方向性はありますか？
回答
モース理論を実質的に使用した最近の画期的な結果は、渡辺が次元4でのスマレの推測を反証したことです。その中で、彼はモース関数の勾配について特定の壊れたフローラインを数えることによってコンツェビッチの配位空間積分を計算する方法を提供します。これらのモールス理論の不変量は、自明化された特定の4次元ディスクバンドルが自明なバンドルではないことを証明するために使用されます。これらのタイプの不変量の特性を開発し、それらを使用して他の多様体の微分同相写像群の自明でないホモトピー群を検出するには、まだやるべきことがたくさんあります。
次のステップ：
（0）（相対モース理論）ジェフリー・メスの論文「属2および3の表面のトレリ群」は、シーゲル上半空間のアーベル・ヤコビ周期軌跡の相対モース理論を研究して、トレリ群（属2）を推定します。 ）は、数え切れないほど多くのジェネレーターの自由群です。彼の証明はとても面白いと思い、もっと学ぼうとしましたが、ほとんど進歩しませんでした...
（1）（概複素構造）シンプレクティックトポロジーに興味がある場合は、エリアシュバーグ-シーレバクの教科書「スタインからワインスタインへ、そしてその逆：概複素構造のシンプレクティック幾何学」は、特に概複素構造に関連して、モース理論の非常に興味深い扱いをしています。 -複雑な構造 $J$ シンプレクティック多様体について $(M, \omega)$。この教科書はミルナーのテキストを覆していると思います。「任意の$2n$次元複素多様体はホモトピー型である $n$-次元CW複体」。（確かに不安定多様体 $W^+$ 非退化シンプレクティック形式に関しては完全にラグランジュです $\omega=\omega_f$、したがって、せいぜい $n$-次元）。ここに$f$ は、すべてに制限されている実数値のモース関数です。 $J$-不変の2平面は分数調波です。
（2）勾配は極に流れます（ポテンシャル関数が $f$ とその勾配 $\nabla f$ に分岐します $\pm \infty$）は、ゼロへの従来の勾配フローよりもトポロジへのアプリケーションが多いようです。特に強い変形を試みる場合は、コンパクトでないソースを収縮させます$X$低次元のコンパクトな背骨に。勾配流をゼロに適用するには、変形パラメーターにリプシッツ連続性条件が必要です。ここで、Lowasiejiwiczの不等式は、通常、再パラメーター化された勾配フローの連続性を証明する上で決定的な役割を果たします。 「ゼロへのグラジエントフロー」の最大の問題は、グラジエントフローがターゲットに近づくにつれて遅くなることです。代数的トポロジーへの最適な輸送の私のアプリケーションでは、勾配が有限時間の爆発を享受し、再パラメーター化された流れの連続性がLowasiejiwczにアピールすることなく即座に行われるため、極への勾配流がはるかに便利であることがわかります。基本的に「ゼロへの勾配流」はソフトランディングですが、「極への勾配流」はターゲットに向かって加速します。
具体的には、次のステップとして「極への勾配流」が重要だと提案しています。そして、これは、次に説明するように、最適な輸送で定期的に発生します。
（3）（最適輸送）モース理論は最適輸送において新しい形をとり、モース理論はの規則性/連続性と独自性を確立する役割を果たします。 $c$-最適な輸送計画。
ソース確率空間を検討する $(X, \sigma)$、 目標 $(Y, \tau)$、およびコスト $c: X\times Y \to \mathbb{R}$。カントロビッチの二重性は、$c$-からの最適な輸送 $\sigma$ に $\tau$ 経由 $c$-凸面の可能性 $\phi=\phi^{cc}$ オン $X$ と $c$-変換 $\psi=\phi^c$ オン $Y$。カントロビッチは言う$c$-最適な輸送計画 $\pi$ のグラフでサポートされています $c$-劣微分 $\partial^c \phi$、または同等にのグラフ上 $\partial^c \psi$。
劣微分は、の平等の場合によって特徴付けられます $$-\phi(x)+\psi(y)\leq c(x,y).$$ に関して平等の場合を区別する $x$ そして $y$ 平等を生み出す $$-\nabla_x \phi(x)=\nabla_x c(x,y)$$ そして $$\nabla_y \psi(y)=\nabla_y c(x,y).$$ （RJMcCannは、これらの平等が一般的な仮説の下でほとんどどこでも成り立つことを示しています $c$）。たとえば、（ツイスト）条件：If$Y\to T_x X$ によって定義されます $y\mapsto \nabla_x c(x,y)$ すべてに単射です $x\in X$、その後 $$y=T(x):=\nabla_x c(x, \cdot)^{-1}(\nabla_x \phi(x))$$ を定義します $c$-からの最適なボレル測定可能マップ $\sigma$ に $\tau:=T\#\sigma$。
さらに繊維 $T^{-1}(y)$ のセットとして特徴付けることができます $x$ 満足 $\nabla_y\psi(y)=\nabla_y c(x,y)$ または $$\nabla_y [c(x,y)-\psi(y)]=0.$$ しかし、差別化することを観察してください $c$-Legendre Fenchelの不等式をもう一度、ポテンシャルのグローバルな最小値を排他的に研究しています $y\mapsto c(x,y)-\psi(y)$、 すべてのための $x\in X$。
通常の陰関数定理を使用して、ファイバー $T^{-1}(y)$ の滑らかな部分多様体です $X$ もし $D_x(\nabla_y c(x,y))$ すべてに対して非縮退です $x\in T^{-1}(y)$。ターゲットの場合$(Y, \tau)$ は1次元であり、これには関数が必要です $x\mapsto \nabla_y c(x,y)$ すべての人にとって臨界点がないこと $y\in Y$、および $x\in T^{-1}(y)$。
ほとんどのソースマニホールドで $(X, \sigma)$重要なポイントが存在しないことを確認することは困難です。場合$X$ コンパクトで $c$が連続有限値である場合、モース理論（初等微積分）はそれを禁止します。しかし、私たちは喜んでコストを研究します$c$極の場合極が唯一の重要な値であり、$c$！たとえば、（ツイスト）仮説は、2つの尖った交差の違いを言っていると言い換えることができます$$c_\Delta(x;y,y'):=c(x,y)-c(x,y')$$ すべての人にとって重要なポイントフリー機能です $y,y'$、$y\neq y'$ そして $x$そのドメインで。極が許可されない限り、これはコンパクトスペースでは満たすことができません。
（3.1）（正規のモールス/コスト関数？）一般的なものと正規のものを区別する必要があります。私の経験では、Wolfram MATHEMATICAで一般的な関数を書き留めたり、調べたり、実装したりするのは非常に難しいと思います。モース関数は一般的であることが知られています（Sard、Thomなどの意味で）。しかし、個人的には、正規のモース関数が好きです。または大量輸送の観点から、標準的なコスト $c$ そのデリバティブ $\nabla c$ 適切なモールス型関数です。
たとえば、閉じた表面からの最適な輸送を研究したい場合 $\Sigma$ 実数直線に $Y=\mathbb{R}$ （または円を描くかグラフ化する）、次に適切なコストを求めます $c: \Sigma \times Y \to \mathbb{R}$ 上記の条件を満たす、例えば $\frac{\partial c}{ \partial y}(x ,y)$ で臨界点を解放する $x\in \Sigma$ すべてのための $y\in \mathbb{R}$。これは、モース理論によって禁止されています。$\Sigma$ コンパクトで $c$どこでも有限です。（アプリケーションでは、許可します$c$ 持つため $+\infty$極。その後、$\partial c/\partial y$ そのドメインでクリティカルポイントフリーである可能性があります）。
しかし、標準的なコストは何ですか $c: \Sigma \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ これはからの興味深い幾何学的輸送を表しています $\Sigma$ に $\mathbb{R}$？ここでは、ソーススペースとターゲットスペース$\Sigma$、 $Y=\mathbb{R}$ 先験的に相互作用はなく、私たちが想定しない限り、それらは共通の背景空間に埋め込まれていません $Y\subset X$。
モース理論の枠組みにおけるカップ積については、深谷賢治がモースホモトピーとその量子化のセクション1で研究したと思います。実際にカップ積を定義するには、1つではなく3つのモース関数が必要です。
シンプレクティック幾何学では、フレアーホモロジーは、経路空間で機能する作用のモース理論の無限次元の類似物と見なすことができます。詳細な紹介については、本「モース理論とフレアーホモロジー」を参照してください。