根と係数の関係を正しく行っていますか?

Dec 06 2020

私はこの演習を受けました: $x^2 - (m+3)x + m + 2$、パラメータの実際の値を確認することになっています $m$ これを機能させるために使用できます:

$1/x_1 + 1/x_2 > 1/2$ (両側に2x1x2を掛けます)そして次のようになります:

$2(x_1 + x_2) -x_1x_2 > 0$

結果として $m > -4$ 根と係数の関係を使用する

その後、私は別の議論があります、 $x_1^2 + x_2^2 < 5$

解決した後、私はそれを得る $m$ 間隔内にあります $(-4,0)$

私の本は可能な限りの最終結果を教えてくれます $M$ ソリューションは間隔内にあります $(-2,0)$

私は何が間違っているのですか?

回答

2 LukeCollins Dec 06 2020 at 07:24

掛けることはできません $x_1x_2$ それが正の量なのか負の量なのかわからないためです(不等式の符号は、負の場合は交換する必要があり、それ以外の場合は同じままであることに注意してください)。

Vieteの公式があなたに言うことを覚えておいてください $x_1+x_2 = m+3$ そしてそれ $x_1x_2 = m+2$。左側を単純化すると、次のように使用できます。$$\frac 1{x_1} + \frac1{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2} = \frac{m+3}{m+2},$$ だからあなたはそれを確実にしたい $m$ そのようなものです $$\frac{m+3}{m+2}>\frac12.$$ 全体に掛けることはできません $m+2$その兆候がわからないので。掛けることができます$(m+2)^2$、これは確かに非負です。これは私たちに与えます$$(m+3)(m+2)>\frac12(m+2)^2$$ これは単純化して $$(m+2)(m+4)>0.$$ 2つの数の積は $>0$ 両方の場合 $>0$、または両方の場合 $<0$

最初の場合( $m+2$ そして $m+4$ 両方ともポジティブです)、私たちは持っています $m>-2$ そして $m>-4$、これは単に言うことと同じです $m>-2$

2番目のケース(両方が負の場合)では、 $m<-2$ そして $m<-4$、それはそれを言うのと同じです $m<-4$

要約すると、あなたの状態はそれを言うことと同等です $$\boxed{\text{$m <-4$ or $m> -2$}}.$$

2 NeatMath Dec 06 2020 at 08:02

不等式では、兆候がよくわからない場合は、通常、分数を組み合わせるとよいでしょう。例については、こことここを参照してください。

$$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} > \frac 12 \iff \frac{2x_2+2x_1-x_1 x_2}{2x_1 x_2} >0 \\ \iff \frac{2(m+3)-m-2}{2(m+2)} = \frac{m+4}{2(m+2)}>0 \iff (m+2)(m+4) > 0 \\\iff m \in (-\infty, -4)\cup (-2, \infty)$$ そして $$x_1^2+x_2^2 < 5 \iff (x_1+x_2)^2-2x_1 x_2 < 5 \\\iff (m+3)^2-2(m+2)-5 = m(m+4) < 0\\ \iff -4<m<0 $$

したがって、 $-2<m<0$