による分割 $0$ ファジーC平均クラスタリングの極端なケース

Question

ファジーC平均（FCM）クラスタリングアルゴリズムの分割行列の計算について質問があります。どんな点でも$x_i$ およびクラスター重心 $c_j$、メンバーシップ値 $w_{i,j}$ は次のアルゴリズムによって計算されます（ここで、cはクラスターの数、mはあいまいさのハイパーパラメーター、および $\Vert \Vert$ はユークリッド距離です）： $$w_{i,j}=\sum_{k=1}^c \frac{1}{\left(\frac{\Vert x_i-c_j\Vert}{\Vert x_i-c_k\Vert}\right)^{\frac{2}{m-1}}}$$ 理論的には（実験的にはほとんどあり得ませんが）、任意の点の距離は $0$ 任意の重心から、除算を引き起こします $0$。

解決策は私には明白に思えます： $\Vert x_i-c_k\Vert=0$、次にポイント $x_i$ 図心に直接あります $c_k$、 そう $w_{i,k}=1$ そして $w_{i,j}=0$ 他のすべてのjについては、次の要件を維持します。 $\sum_{j=1}^c w_{i,j}=1$、しかし、これがアルゴリズムによると健全かどうかはわかりません。

ポイントの場合 $x_i$ 図心にあります $c_j$、です $w_{i,j}=1$ 本当ですか？

（検証を探しているだけで、表示していたソース資料には何も見つかりませんでした...）

Answer 1

これは、定理の特殊なケースであり、 $c_k=x_i$。

この式が登場した元の論文は次のとおりです。

ISODATAプロセスのファジー相対およびコンパクトで十分に分離されたクラスターの検出におけるその使用
サイバネティックスおよびシステム
J.C. Dunn（1973）

記事は彼女を見つけることができます：

https://www-m9.ma.tum.de/foswiki/pub/WS2010/CombOptSem/FCM.pdf

定理は定理3、（a）44ページのケース1です。