のフーリエ変換 $L^1$ 導関数がにある関数 $L^1$ 無限大で消える $L^1$

Question

$f \in L^1(\mathbb{R})$ 次のような微分可能関数です $f' \in L^1(\mathbb{R}) \cap C_0(\mathbb{R})$、のフーリエ変換が $f$ 了解しました $\hat{f}$ にあります $L^1 (\mathbb{R})$

私は知っています $f,f'\in L^1(\mathbb{R})$、その後 $\widehat{f'}(t)=it\hat{f}(t)$しかし、導関数が無限遠で消えるという条件の使い方がわかりません。どんなアイデアも役に立ちます。

Answer 1

2つのヒント：

その事実を使用してください $f'$ それを示すためにバインドされています $f' \in L^2$ プランシュレルを使用します。

ご了承ください $f'$ 有界であり、$|f'|^2 \le \sup |f'| |f'|$ わかります $f' \in L^2$。それからプランシュレルはそれを示します$\hat{f'} \in L^2$。ご了承ください$\hat{f'}(\omega) = i\omega \hat{f(\omega)$。

コーシーシュワルツを使用し、 $\omega \neq 0$ 我々は持っています $\hat{f}(\omega) = \omega \hat{f}(\omega) \cdot {1 \over \omega}$。

ために $\omega \neq 0$ 我々は持っています $|\hat{f}(\omega)| = |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|}$ コーシーシュワルツは $\int|\hat{f}| = \int |\omega||\hat{f}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega = \int |\hat{f'}(\omega)| \cdot {1 \over |\omega|} d \omega \le \| \hat{f'}\| \| \omega \mapsto {1 \over |\omega|} \|$。