のすべての点で消滅する多項式が存在することを証明する $X$ 代数曲線

Question

しましょう $X \subset \mathbb{A}^3$ 代数曲線であり、 $X$ に平行な線が含まれていません $z$-軸。ゼロ以外の多項式が存在することを証明する$f(x,y)$ のすべてのポイントで消える $X$。

この質問には次元的な議論が必要だと思います。より正確には、次の結果を適用することを考えていました。

場合 $X$ 既約です $n$-次元の準射影多様性と $Y \subset X$ のゼロのセット $m$ 上のフォーム $X$、次にのすべての空でないコンポーネント $Y$ 寸法があります $\geq n -m$。

だから、私の場合 $X$ 寸法があります $n= 1$ 代数曲線なので、 $m = 1$ そして $Y$ のゼロのセットです $f$。そうすれば、のすべてのコンポーネントが$Y$ 寸法があります $\geq 0$。だからそれは$f$ のいくつかのポイントで消えます $X$交差点が空になることはありません。運動を証明するために、私はそれを証明する必要があります$\dim Y = 1$。私はここからどのように移動するかわからず、この時点まで私の推論の正しさについても確信がありません。

Answer 1

直感的に、そのような多項式を見つける方法は、曲線の射影を考慮することです。 $X$ に $xy$-平面を作成し、この投影の画像上で消失する多項式を見つけます。これはの多項式になります$x$ そして $y$ これは、この投影のすべての垂直ファイバーに沿って一定であるため、 $X$。

このような多項式を作成するには、次のことを考慮してください。 $I(X)$ そしてとる $f_1,\cdots,f_n$ なしの生成セットとして $f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$。その条件によって$X$ の曲線です $\Bbb A^3$、 $n$ 少なくとも $2$（これは、寸法が重要な唯一の場所です）。どちらかなら$f_1$ または $f_2$ の多項式です $x$ そして $y$、完了です。それ以外の場合は、次の結果を使用できます$f_1$ そして $f_2$ に関して $z$ で多項式を生成する $x$ そして $y$ どこでも消える $f_1$ そして $f_2$ do：特に、そのような多項式は消えなければなりません $X$。