の数値的不等式のより良い証明 $e^x$

Aug 16 2020

不等式は

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

私はそれを3つのケースに分けて証明しました: $-3<z<0$$z=0$ そして $0<z<3$

にとって $z=0$、両側が等しい。

他の2つのケースは微積分で行われます。定義する$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$ その後、交換します $|x|$ 沿って $x$ または $-x$それに応じて。次に、導関数を確認します。

しかし、私の意見では、それは一種のブルートフォースなので、それを表示するためのより速い(よりスマートな)方法があるかどうか疑問に思っています。

回答

4 JoséCarlosSantos Aug 16 2020 at 17:25

注意してください、 $|z|<3$\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}