の要因 $2n^2 \leq n$？
の要因はいくつ $2n^2$ 以下である $n$？私はの要因の数を知っています$n^2$ 未満 $n$ の因子の数の半分です $n^2$ （各要因 $< n$ より大きい1に対応します $n$）、 だが $2n^2$まったく別のケースのようです。このための表現を見つける方法はありますか？そうでない場合は、そのためのアルゴリズムはありますか？組み合わせ論と素因数分解の両方を調べましたが、行き止まりになりました。
回答
の素因数分解に依存しているように見えるので、一般的な分析ソリューションは見当たりません。 $n$。
しかし、OPはコードも要求します。それは非常に簡単です。Mathematica：
myfun[n_: Integer] := Length[
Select[Divisors[2 n^2], # <= n &]]
そう：
myfun[9098345]
（* 27 *）
これがプロットです：
これは直接問題の一部ではありませんが、問題の動機のようです。上記の機能が$f(n)$、計算する $F(N) = \sum\limits_{n=1}^N f(n)$、 ために $N = 10^{12}$。
私が考えるアプローチは次の通りである：計算の数$2$その合計のs。次に、の数を計算します$3$s。など、それらを合計します。
の数 $2$sは $10^{12}/2$。の数$3$sは $10^{12}/3$。等々。しかし、合計計算でそれらを合計した最大値はどれくらいですか？私はそれがで許可されている最大の要因であるべきだと思います$10^{12}$ 合計の（最後の）項、つまり、 $k_{max} = \sqrt{50} \cdot 10^5 = 707107$、から取得 $2 n^2 = 10^{12}$ 計算。
そうであれば、次のようになります。 $F(10^{12}) = 10^{12} \sum\limits_{k = 1}^{k_{max}} \frac{1}{k} = 10^{12}\ {\rm HarmonicNumber}(k_{max}) = 10^{12} \cdot 14.0461536491411$。
含める必要のある丸めアーティファクトがいくつかある可能性がありますが、これは正しいアプローチだと思います。誰かがこれをもっと注意して行う必要があります。
これは非常に興味深い質問です。仮定する$n=2^{a}(2k+1)$ いくつかの整数の場合 $a$ そして $k$。f（x）=整数xの正の約数の数とします。の要因以来$2n^2\leq n$ の要因の数が必要です $2^{2a+1}(2k+1)^2$。したがって、$f(2^a(2k+1))+c_{a}$。どこ $c_{a}$は、エラーファクターの限界係数が小さいため、決定論的である必要があります。大まかな考えですが、私は限界を見つけていませんが、ヒントとして、小さなケースを試すことができます。しかし、$g(x)=$xに等しい最大の整数は、その後、 $$c_{a}\leq f(g(2^{\frac{2a+1}{2}}(2k+1)))-f(2^a(2k+1))$$。私たちが知っているところ $f$ 有名な除数関数または $\tau$ 機能と $g$床関数です。このリンクを限界に使用し、下限を除数関数の合計に使用します