PQの長さを見つけます。

Question

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しましょう $ABC$三角形になります。角度の外部二等分線をしましょう$A$ 三角形の外接円に会う $ABC$ 再びで $M \neq A$。中心のある円$M$ と半径 $MB$ 角度の内部二等分線に適合 $A$ ポイントで $P$ そして $Q$。の長さを決定します$PQ$ の長さの観点から $AB$ そして $AC$。

誰かが解決策を提供できますか？私はその質問で大きな進歩を遂げているようには見えません。

編集：これは私がGeogebraで作成した元のプロジェクトです。それが図をより明確にすることを願っています。

https://www.geogebra.org/classic/ezted9sg

Answer 1

これを証明してみてください。

•の長さを見つける $MA=2R\cos(\frac{A+2C}{2})$最初。（ どこ$R$ は三角形の外接円半径です。）

•次に見つける $MB=2R\cos(\frac{A}{2})$ で正弦法則（角度を追跡）を使用して $\triangle MAB$

•最後に、ピタゴラスの定理を $\triangle MAQ$

$MQ^2-MA^2=MB^2-MA^2=AQ^2$ そして $PQ=2AQ$