ライダーの本からの電子自己エネルギーの次元正規化

Question

私はライダーの教科書を使って電子の自己エネルギーを研究しています。334ページで見ることができます。

定義 $k'=k-pz$ 線形という用語を避ける $k'$（ゼロに積分されるため）\ begin {equation} \ Sigma（p）=-ie ^ 2 \ mu ^ {4-d} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu（{\ not} p-{\ not} p z + m）\ gamma ^ \ mu \ int \ frac {d ^ dk '} {（2 \ pi）^ d} \ frac {1} {[k' ^ 2-m ^ 2z + p ^ 2z（1 -z）] ^ 2}。\ label {r2.7} \ end {equation} [...]この整数は、式（9A.5）を使用して実行され、\ begin {equation} \ Sigma（p ）= \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma（2- \ frac {d} {2}）} {（4 \ pi）^ {d / 2}} \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p（1-z）+ m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z（1-z）] ^ {d / 2-2}。\ end {equation}

方程式9A.5は\ begin {equation} \ int \ frac {d ^ dp} {（p ^ 2 + 2pq-m ^ 2）^ {\ alpha}} =（-1）^ {d / 2} \です。 imath \ pi ^ {d / 2} \ frac {\ Gamma \ left（\ alpha- \ frac {d} {2} \ right）} {\ Gamma（\ alpha）} \ frac {1} {[-q ^ 2-m ^ 2] ^ {\ alpha-d/2}}。\tag{9A.5} \ end {equation}彼がこの積分（9A.5）をどのように適用して結果を取得したかわかりません\ begin {方程式} \ Sigma（p）= \ mu ^ {4-d} e ^ 2 \ frac {\ Gamma（2- \ frac {d} {2}）} {（4 \ pi）^ {d / 2} } \ int_0 ^ 1dz \ gamma_ \ mu [{\ not} p（1-z）+ m] \ gamma ^ \ nu [-m ^ 2z + p ^ 2z（1-z）] ^ {d / 2-2 }。\ end {equation}アイデアを得るのを手伝ってください。

Answer 1

結果（9A.5）をの積分に適用するだけです。 $d^d k^\prime$。実際に電話$M^2 = m^2z-p^2z(1-z)$ そして、置きます $q=0$ 積分（9A.5） $$ \int\frac{d^dk'}{(2\pi)^d}\frac{1}{[k'^2-m^2z+p^2z(1-z)]^2} = \int\frac{d^dp}{(2\pi)^d}\frac{1}{[p^2-M^2]^2}=\frac{1}{(2\pi)^d}(-1)^{d/2}i\pi^{d/2}\frac{\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)}{\Gamma(2)}\frac{1}{[-M^2]^{2-d/2}}$$

ここで、積分変数を $k^\prime$ に $p$結果9A.5からそれをより明確にするため。その事実を使用して$\Gamma(2) = 1$、上記の定義を使用して $M^2$ 少し単純化する $$\frac{(-1)^{d/2}}{2^d}i\pi^{-d/2}\Gamma\left(2-\frac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2} = \frac{i(-1)^{d/2}}{(4\pi)^{d/2}}\Gamma\left(2-\dfrac{d}{2}\right)[-m^2z+p^2z(1-z)]^{d/2-2}$$ ここで私たちは $2^d = 4^{d/2}$

Answer 2

最初の方程式の2番目の被積分関数を9A5のグランドのtyheと比較します。あなたはそれを見る$\alpha \rightarrow 2$、 $q \rightarrow 0$、 $ -m^2 \rightarrow etc.$一方の被積分関数をもう一方の被積分関数に変換します。9A5のrhsで同じ置換を行うと、望ましい結果が得られるはずです。