連続体仮説を完全に強制できるという事実が、連続体仮説を証明しないのはなぜですか？

Aug 18 2020

私はニックウィーバーの数学者のための強制を読んでいて、第12章（「CHの強制」）で彼はこれから始めます（45-46ページ）：

（ここのすべてはに相対化されます $M$ -彼の本ではZFCのモデルです）。

しましょう $P_1$ からのすべての部分関数のセットである $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ に $\aleph_1$ （これは強制的な概念です）そして $G$ の一般的な理想である $P_1$。の要素以来$G$ 一貫している必要がある関数です（ $G$ 理想的です）関数を構築するためにそれらの結合を取ることができます $\tilde{f}$ のサブセットから $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ サブセットに $\aleph_1$。

次に、彼は次のことを証明します。

$\tilde{f}$ のサブセットからの全単射（関数だけでなく）です $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ サブセットに $\aleph_1$ 一貫性のある全単射にパッチを適用すると、全単射が得られるためです。
のドメイン $\tilde{f}$ のすべてです $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 以来 $G$ ジェネリックです。
の範囲 $\tilde{f}$ のすべてです $\aleph_1$ 以来 $G$ ジェネリックです。

したがって、私が知る限り、どのモデルでも $M$ ZFC（つまり、ZFCが保持する任意のセット）の、からの全単射があります $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ に $\aleph_1$ したがって、連続体仮説は真です。

私は彼が話し続けることを知っています $M[G]$ しかし、私が知る限り、 $M[G]$ はZFCの単なる別のモデルであり、私たちが選んだセットである可能性が非常に高いです。 $M$。

回答

9 AsafKaragila Aug 18 2020 at 01:11

しかし、全単射 $\widetilde f$ にありません $M$、それが要点です。にあります$M[G]$。あなたが示したのは、$\sf ZFC$、より大きなモデルがあります $\sf CH$ 本当です。

確かにそれを見るために $\widetilde f\notin M$、任意の関数が与えられていることに注意してください$g\colon \mathcal P(\Bbb N)\to\omega_1$、条件の密なセットがあります $p$ そのような $p\nsubseteq g$。したがって、一般的に、$\widetilde f\neq g$。場合$\widetilde f$ のどの関数とも等しくありません $M$、それからそれはすることができません $M$。

（これは、より広義には、強制が自明でないときはいつでも、地上モデルに一般的なフィルターがない理由です。）

7 ChrisEagle Aug 18 2020 at 01:12

ここで重要なのは $G$ ジェネリックである必要があります $M$、そして結果として $G \not\in M$。

お気づきのように、を含むZFCのモデルを作成できれば $G$ そしてそれは同意します $M$ 何について $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ そして $\aleph_1$その場合、そのモデルではCHが保持されます。強制は、そのようなモデルを構築する方法を教えてくれるので、与えられたモデルを示しています$M$CHが成り立つモデルを作ることができます。これにより、ZFC + CHの相対的な一貫性を示すことができますが、CHを証明するものではありません。

5 NoahSchweber Aug 18 2020 at 15:15

既存の回答にいくつかのポイントを追加しましょう。

まず、既存の回答では言及されていない重要なポイントがあります。ジェネリックが常に存在するとは限らないことに注意することが重要です。存在が保証されるのは$M$ある可算。だからステートメント

すべて $M\models\mathsf{ZFC}$ いくつかのサブモデルです $N\models\mathsf{ZFC+CH}$

本当に真実ではありません-可算に制限する必要があります $M$s。確かに、$\mathsf{CH}$ 実際には偽であり、いくつかあります $M$ 満足するエンドエクステンションなし $\mathsf{CH}$：つまり、すべての実数を含むモデル。

いくつかのサイドコメント：

「可算名詞 $M\models\mathsf{ZFC}$ 可算名詞のサブモデルです $N\models\mathsf{ZFC+CH}$「ある本当！ -私たちはこれらの可算モデルは十分な根拠である必要はありません。これは明らかではありませんが、表示難しいことではありませんとでは良い運動です『内部的にすべての再帰を実行しています』。
我々はできる任意のモデルの拡張を強制についての話（そして実際に$V$それ自体！）強制へのブール値モデルアプローチを介して。これは、たとえばJechで採用されているアプローチです。ただし、魅力的で重要であると同時に、私の意見では、ポセットアプローチよりもかなり直感的ではありません。

第二に、教育学的価値について、の重要性が $G\not\in M$ より露骨に明白です、すなわちレビー崩壊 $Col(\omega,\omega_1)$。

$Col(\omega,\omega_1)$ 作るための最も簡単な強制です $\omega_1$ 可算：有限部分関数で構成されています $\omega\rightarrow\omega_1$、予想どおり逆拡張順に並べられています。それぞれのために$\alpha\in\omega_1$ セット $\{p: \alpha\in ran(p)\}$ 密度が高く、ジェネリック $G$ （というより、そのような条件の和集合 $G$）はからの全射です $\omega$ に $\omega_1$。

より正確に言えば、単純化のために可算推移モデルに限定すると、次のようになります。

場合 $M$ の可算推移モデルです $\mathsf{ZFC}$ そして $G$ です $Col(\omega,\omega_1^M)$-ジェネリックオーバー $M$ その後 $M[G]\models\omega\equiv\omega_1^M$。

しかし、とは異なり $\mathsf{CH}$、「同じモデル」の現象が発生する可能性がないことは明らかです。 $M\models\mathsf{ZFC}$ そのような $M\models \omega\equiv\omega_1^M$。したがって、この例を最初に検討すると、強制力が一般に真実を意味しない理由を理解するのに役立つ場合があります。

最後に、前向きなメモで締めくくります。上記にもかかわらず、文の「強制力」がその完全な真実を暗示する場合があります。