リングでの乗算の定義[クローズ]

Question

私が指輪を持っているとしましょう $R=(\mathbb{R}, +, *)$。です

$a+a=2*a$

（（$a \in \mathbb{R}$）

どのリングにも常に当てはまります¹？（したがって、この方程式が真でない場合、私はそれを明確に推測することができます$R$ リングではありません。）

1）「any」とは、同じように使用している他のリングを意味します $\mathbb{R}$ 基礎となるセットとして、コメントニックをありがとう。

Answer 1

リングに単位、つまり乗法的単位元がある場合（そして、ほとんどすべての人が最近使用している定義 https://en.wikipedia.org/wiki/Ring_(mathematics)#Multiplicative_identity:_mandatory_vs._optional）、はい。

コメント提供者が指摘するように、 $2$ と定義されています* $1 +1$、 どこ $1$ は乗法的単位元であるため、分配法則と次の事実に基づいています。 $1$ 乗法的単位元です。

注意すべき唯一のことは、それが可能であるということです $ 2 = 0$ （例： $\mathbb Z_2$）、 多分 $2 = -1$ （例： $\mathbb Z_3$）、したがって、リング内のこれらの「整数」は、整数の動作を期待したとおりに動作しない可能性があります。

ところで、あなたが持っていない代数的構造を扱っているなら$1$、人々はしばしばの「行動」を定義します $\mathbb Z$ あなたの要素に、そしてそれを示すために乗算を使用します、ここで

$$ n \cdot a = a + a + .... + a \text{ (n times)}$$

編集：さて、あなたは「と」を追加しました私はまた使用している他のリングを意味します $\mathbb{R}$ 基礎となるセットとして」、これに対処する必要があります：基礎となるセットを取ることができます $\mathbb R$、そしてそれに奇抜な新しい加算と乗算を定義します。最も単純なのは$a \oplus b = a + b -1$ そして $a \otimes b = ab - a -b + 2$。

シンボルを使いましょう $S$ この新しいリングを示すために $\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$。次に、番号1$\mathbb R$ （私はこれを書くつもりです $1_{\mathbb R}$）はリングの乗法的単位元ではありません $S$。 $1_S$、という名前のリングの乗法的単位元の標準表記です $S$、実際には $2$、つまり古き良き2の古き良き $\mathbb R$、次のように書きたいと思うかもしれません $2_{\mathbb R}$、 はい $2_{\mathbb R} = 1_{\mathbb R} + 1_{\mathbb R}$。

しかし、あなたの質問が尋ねていることはまだ真実です $S$、すなわち $a \oplus a =2_{S} \otimes a$; ただし、のリング操作を必ず使用する必要があることに注意してください。$S$、使用していることを思い出してください $2_{S}$、と定義されています $1_{S} \oplus 1_{S}$。（そして、基礎となる実数に対応します$3_{\mathbb R}$！）

リング $S$もちろん、作業するのは非常に混乱します。これが真剣に使用されているのを見たことがありません。学部の数学専攻の頭脳を壊し、グループ、リング、フィールドなどを定義する方法を示しただけです。彼らは慣れています。つまり、$\langle \mathbb R, \oplus, \otimes\rangle$ は注意書きであり、一般的に使用される数学ツールではありませんが、あなたが置く唯一の要件はそれでした $\mathbb R$は基礎となるセットだったので、あなたはそれを私に開いたままにして、本当に奇妙な足し算と掛け算を定義しました。私はそれについて苦しむことにあまり時間をかけませんが、あなたの知恵を熟考して研ぎ澄ますことは楽しい例かもしれません。

---

*誰かが記号「$2$「そしてそれは等しくないと言います $1+1$、あなたは彼らを面白く見て、彼らが何をしていると思うのかを尋ね、なぜ彼らがそのシンボルを使用しているのかを説明するように要求します。

Answer 2

これは基本的に定義上真実ですが、注意すべきことがいくつかあります。

一部の人々はそのリングを必要とします $(R,+_R,\cdot_R)$ 乗法的単位元が含まれています $1_R,$ そしてその環準同型 $f : (R,+_R,\cdot_R)\to (S,+_S,\cdot_S)$ 満足させる $f(1_R) = 1_S.$ この条件が必要な場合は、任意のリング $(R,+_R,\cdot_R)$ 独特の環準同型があります $i_R : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R).$ この場合、セットでも $R$ 文字通り含まれていません $2,$ あなたは考えるかもしれません $i_R(2)\in R$ あるように $2$ （あなたも書くかもしれません $i_R(2) = 2_R$）。それは本当です$r\in R,$ $$ 2_R\cdot_R r = i_R(2)\cdot_R r = r +_R r, $$ なぜなら $$ \begin{align*} i_R(2)\cdot_R r &= i_R(1 + 1)\cdot_R r\\ &= (i_R(1) + i_R(1))\cdot_R r\\ &= (1_R + 1_R)\cdot_R r\\ &= r + r. \end{align*} $$ JonathanZはMonicaCノートをサポートしているため、 $i_R(2)$予想とは異なる動作をしたり、予想とは異なって見えたりします。それはそれかもしれません$i_R(2) = -1_R$ あるいは $i_R(2) = 0_R$！これの特にとんでもない例については、最後の段落を参照してください。

環に乗法的単位元があることを要求しない場合、および/または環準同型が乗法的単位元を乗法的単位元に送信する必要がない場合、これはある程度当てはまりますが、意味に注意する必要があります。

しましょう $(R,+_R,\cdot_R)$私たちのおそらく非単位的環になります。この場合、固有の準同型を使用することはできません$i_R :(\Bbb{Z},+,\cdot)\to(R,+_R,\cdot_R)$以前から-現在、複数の環準同型が存在する可能性があります！さらに、セット$R$ 含まれていない可能性があります $2.$

どうしようか？さて、どのリングにも基礎となるアーベル群があることを忘れないでください$(R,+_R).$ https://math.stackexchange.com/questions/1156130/abelian-groups-and-mathbbz-modules （見る https://en.wikipedia.org/wiki/Module_(mathematics)慣れていない場合は、リング上のモジュールの定義について）。これは、次のアクションがあることを明示的に意味します$\Bbb{Z}$ オン $R$これは加算とうまく相互作用します。このアクションを設定して定義します$$ n\cdot r :=\begin{cases} \underbrace{r + \dots + r}_{n\textrm{ times}},&n > 0,\\ 0,&n=0,\\ \underbrace{-r + \dots + -r}_{-n\textrm{ times}}, &n <0. \end{cases} $$ 私が書いていないことに注意してください $n\cdot_R r$ -それは必ずしも要素がないからです $n\in R$ 次のように動作します $n.$ ただし、要素を追加することを考えるのは賢明です $r$ それ自体に $n$ 何回か $n\cdot r$定義による意味。ザ・$\cdot$ のアクションを指します $\Bbb{Z}$ の基礎となるアーベル群について $(R,+_R,\cdot_R),$リング自体の乗算ではありません。この意味で、平等$$ 2\cdot r = r+r $$ 常に成り立ち、これは基本的に定義によるものです！

最後にもう1つ。あなたはこれが持っているリングに当てはまるかどうか尋ねました$\Bbb{R}$その基礎となるセットとして。ここでは少し注意する必要があります。次のリング構造を検討してください。$\Bbb{R}$： $$ \begin{align*} +' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r+'s:=\sqrt[3]{r^3 + s^3},\\ \cdot' : \Bbb{R}\times\Bbb{R}&\to\Bbb{R}\\ (r,s)&\mapsto r\cdot's := rs. \end{align*} $$ これはの標準的なリング構造ではありません $\Bbb{R}$-乗算は同じですが、加算は「ねじれ」ています。この場合、$2\in \Bbb{R}$、しかしそれは真実ではありません $2\cdot' r = r +' r.$ 仮定します $r = 2.$ 次に： $$ \begin{align*} 2 +' 2 &= \sqrt[3]{2^3 + 2^3}\\ &= \sqrt[3]{16}\\ &= 2\sqrt[3]{2}. \end{align*} $$ 一方、 $$ 2\cdot'2 = 4. $$どうした？以下の答えを明らかにする前に、これについて自分で考えさせてください！

ここで起こったことは $2\in\Bbb{R}$以前と同じ役割を果たしていません。私たちの指輪$(\Bbb{R},+',\cdot')$ まだ乗法的単位元を持っていますが、私たちの環準同型 $i_{(\Bbb{R},+',\cdot')} : (\Bbb{Z},+,\cdot)\to(\Bbb{R},+',\cdot')$ 今送信します $$i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(2) = i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) +' i_{(\Bbb{R},+',\cdot')}(1) = 1 +' 1 = \sqrt[3]{2}.$$だからの要素があります $(\Bbb{R},+',\cdot')$ 次のように動作します $2$ すべきです-それは $\sqrt[3]{2}$。したがって、$$\sqrt[3]{2}\cdot' r = r +' r$$のために $r\in\Bbb{R}.$ 私たちはすでに持っているので、これは非常に混乱しています $2\in\Bbb{R}$！この場合、区別することが非常に重要になります$2\cdot r$ （これは $2\in\Bbb{Z}$ に作用する $r,$ 与える $r +'r$）および $2\cdot' r$ （私たちが計算したように、そうではありません $r +' r$一般に）。最初の段落の表記では、$2_{(\Bbb{R},+',\cdot')} = \sqrt[3]{2}$ そして $2\neq 2_{(\Bbb{R},+',\cdot')}$。

どんなセットでも、何が起こったのかをさらに明確にする $X,$ 任意のリング $(R,+_R,\cdot_R),$ および全単射 $f : X\to R,$ 私たちは与えることができます $X$ 上の加算を定義することによるリングの構造 $X$ 沿って $x +_X y := f^{-1}(f(x)+_R f(y))$ そして $x\cdot_X y := f^{-1}(f(x)\cdot_R f(y)).$ リング構造を採用しています $R$ に輸送します $X$ 全単射を介して $f$：まず、要素を取ります $x$ そして $y$ に $X,$ それらをに送ってください $R$ ここでそれらを加算または乗算してから、 $X.$ 上記の例では、全単射を使用しています $\Bbb{R}\to\Bbb{R}$ 送信します $x$ に $x^3.$