ローパスからバンドパスへの変換の導出

Question

基本的な質問があります。

「よく知られている」ローパスからバンドパスへの変換は $$ s \longmapsto \frac{\bar{s}^2 + \omega_1\omega_2}{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}, $$ のバンドパス伝達関数を与える $$ \frac{1}{s + 1} \longmapsto \frac{\bar{s}(\omega_1 - \omega_2)}{\bar{s}^2 + \bar{s}(\omega_1 - \omega_2) + \omega_1 \omega_2}. $$

私の直感では、バンドパスはローパスとハイパスの積でなければなりません。ただし、この製品は異なる伝達関数を提供します。$$ \frac{\omega_1}{s + \omega_1} \frac{s}{s + \omega_2} = \frac{\omega_1 s}{s^2 (\omega_1 + \omega_2) s + \omega_1 \omega_2}, $$ これは、バンドパス変換がこのローパスとハイパスのカスケードを与えないことを示しています。

• 私の質問は、ローパスフィルターの組み合わせまたは極配置の観点から、バンドパス変換はどのように設計されているかということです。

• 関連する質問ですが、別の導出手法を使用しており、ローパス/ハイパス導出が参照されていますが、表示されていません。ローパスからバンドパスへの変換はどのように導出されますか？

Answer 1

ローパスのカットオフ周波数がハイパスのカットオフ周波数よりも高い限り、ローパスフィルターとハイパスフィルターを乗算すると、バンドパスフィルターが生成されます。このアプローチの問題は、選択した基準（Butterworth、Chebyshev、Cauer）に従って最適な振幅応答を持つローパスフィルターとハイパスフィルターでは、最適なバンドパスフィルターが得られないことです。

一方、単一の最適なフィルターをマッピングすると、別の最適なフィルターになります。使用する$\omega_l\omega_u=\omega_0^2$、 どこ $\omega_l$ そして $\omega_u$ それぞれ、バンドの下端と上端です。 $\omega_0$ はバンドパスフィルターの中心周波数であり、簡単にするために定数を省略して、変換は次のように書くことができます。

$$s\longmapsto \frac{s^2+\omega_0^2}{s}\tag{1}$$

[ご了承ください $\omega_l$ そして $\omega_u$ として示されます $\omega_1$ そして $\omega_2$ OPでは使用されていますが、下の図では別の方法で使用されています。]

マッピング $(1)$ マップDC（$\omega=0$）希望の中心周波数に $\omega_0$。さらに、$s=\pm\infty$ にマッピングされます $s=0$ そして $s=\infty$。したがって、ローパスフィルターの周波数軸全体がバンドパスフィルターの正の周波数軸にマッピングされます。（バンドパスフィルターの負の半軸についても同じことが言えます）：

（from：Parks and Burrusによるデジタルフィルター設計）