最大の運動（集合論）。

Question

しましょう $A$ そして $B$ 半順序集合であり、 $f:A→B$機能を厳密に増加させます。次の場合にそれを証明する$b$ の最大要素です $B$ 、次にそれぞれ $f^*(b)$ Aの最大要素です。

私は不条理で推論しようとしました、私は $ f ^ * (b) $ の最大要素ではありません $ A $、しかし私はの要素を比較することはできません $ a $ のサブセットで $ A $、以来 $ f ^ * ( b) = f ^ {- 1} (\{b\}) $ （（$ f ^ *(b)$ のサブセットです $ A $）比較する方法がわかりません $ f ^ * (b) $ のいくつかの要素で $ A $ それを使用するには $ f $ 増加しています。

Answer 1

「しかし、aの要素をAのサブセットと比較することはできません」

はい、できます。

の1つの要素のため$a\in f^*(b)$代表的な要素にすることができます。次の場合にそれを証明する$a\in f^*(b)$ その後 $a$ で最大でなければなりません $A$.... なので $a$ で完全に恣意的だった $f^{*}(b)$のすべての要素が真実でなければなりません$f^*(b)$ 最大です。

そして、はい、矛盾による証明は行くための優れた方法です。

仮定する $a\in f^*(b)$ そう $f(a) = b$。そして仮定する$a$Aでは最大ではありません。したがって、$c \in A$ そのため $c > a$。

じゃあ……

$f(c) > f(a)=b$ なぜなら $f$増加しています。そう$f(c) > b$。

Answer 2

取る $x \in f^*(b)$。場合$x \leq y$、私たちの目標はそれを証明することです $x=y$。適用する$f$ 取得するため $b \leq f(y)$。以来$b$ 最大です、 $b =f(y)$。さて、$x\leq y$ どちらかを意味します $x<y$ または $x=y$。最初のケースは不可能です。$f$厳密につながる増加$b<b$。したがって、それは$x=y$。