三角法で特定の明白で些細な結果を証明する必要がありますか？

Question

私は現在高校2年生の三角法をやっていますが、これは私の頭に浮かんだことです。

下の図は直角三角形を示しています $ABC$、 どこ $\angle A = \alpha$、 $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$ または $90^\circ$。

さて、入門三角法では、角度の三角関数は直角三角形の比率または辺として定義されます。例えば ​​：$\sin\alpha = \dfrac{BC}{AC}$。

私が三角法を学んだ教科書では、これは最初の数ページの内容でした：

三角法とは何ですか？

それは数学の他の分野と数学以外のアプリケーションです

三角関数（または比率）の定義

例と質問

最初の例は次のとおりです。

2つの三角形が提供されます。それらの三角形を$XYZ$ そして $PQR$。これらの三角形は両方とも直角三角形です。$\angle Y = \angle Q = 90^\circ$。また、$\angle X = \angle P$。これらの2つの角度を等しくします$\varphi$。さて、$XZ = 5 \text{ units}$、 $YZ = 3 \text{ units}$ そして $PR = 10 \text{ units}$。検索$QR$。

解決策は次のとおりです。 $$\sin\varphi = \dfrac{\text{Perpendicular}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{3}{5} \text{, obtained from } \Delta XYZ$$ $$\text{From }\Delta PQR \text{, } \sin\varphi = \dfrac{QR}{10}$$ $$\therefore \sin\varphi ~ \dfrac{3}{5} = \dfrac{QR}{10} \implies QR = \dfrac{10 \cdot 3}{5} = 6 \text{ units}$$

これに先立って、。次のステートメントが証明されているはずです：

角度の三角関数の比率は一意であり、選択した三角形に依存しません。

私は、この解決策がそのサインを証明する前に有効であるとは思わない $\varphi$両方の三角形から得られるのはユニークです。私が上で述べたステートメントは類似性を使用して簡単に証明できますが、この質問で私が聞きたいのは、「私が与えた例のような質問を試みる前に、明白で些細なことであると想定されるこのようなステートメントは証明されるべきであり、このステートメントが事前に証明されていない場合、この例の解決策は無効としてレンダリングされますか？」

ありがとうございました！

Answer 1

三角関数を紹介する前に、クラスは合同と類似性を扱います。合同な三角形は等しい辺と等しい角度を持ち、類似した三角形は等しい角度を持ちますが、辺は同じ係数でスケーリングされます$>0$。生徒がこれらの事実を受け入れるとき、単一性の問題はありません$\sin\alpha$ いつ $0\leq\alpha\leq{\pi\over2}$。

もちろん、主な問題は、辺の長さと角度の間の「秘密の」依存関係です。この依存性は、公理的ユークリッド幾何学では処理されません。