三角法から方程式を解く
次の三角方程式を解こうとしています。 $$\frac{\cot\theta+\csc\theta}{\tan\theta+\sec\theta}=\cot(\pi/4+\theta/2)\cot \theta/2$$ しかし、残念なことに、私は多くの努力を払った後、問題を解決することができませんでした.いくつかの明らかな手順が欠けていると思うので、問題はめちゃくちゃになっていますが、私の過ちを指摘することはできませんでした. RHS から始めましたが、私もそこで失敗しました。
誰かが私を助けてくれたら、とても感謝します。
回答
$$\frac{\cot \theta+\csc \theta}{\tan \theta+ \sec \theta}= \frac{1+\cos \theta}{1+\sin \theta}~\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$ $$=\frac{2\cos^2(\theta/2)}{[\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2)]^2}\frac{\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \frac{\cos (\theta/2)-\sin(\theta/2)}{\cos (\theta/2)+\sin(\theta/2)}$$ $$=\cot(\theta/2) \frac{1-\tan(\theta/2)}{1+\tan(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \tan(\pi/4-\theta/2)=\cot(\theta/2) \cot(\pi/4+\theta/2).$$ 使用する $\tan(\pi/2-z)=\cot z$.
させる $c=\cot\dfrac\theta2$
ワイエルシュトラス置換を使用する
$$\tan\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2-1}$$
$$\sin\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2+1}$$
$$\cos\theta=\cdots=\dfrac{c^2-1}{c^2+1}$$
もしも $c\ne0,$
LHS $=\dfrac{\dfrac{c^2-1}{2c}+\dfrac{c^2+1}{2c}}{\dfrac{2c}{c^2-1}+\dfrac{c^2+1}{c^2-1}}=\dfrac{c(c^2-1)}{(c+1)^2}=c\cdot\dfrac{c-1}{c+1}$ もしも $c+1\ne0$
最後に使用することを証明する$\cot(A+B)=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}$