整数多項式と非整数係数の有理多項式を合成すると、整数多項式になりますか？
2つの多項式を見つけることができますか $p(x)$ そして $q(x)$、 どこ $p(x)$ は整数上の非定数モニック多項式であり、 $q(x)$ は、少なくとも1つの非整数係数を持つ有理数のモニック多項式であり、その構成は次のようになります。 $p(q(x))$整数上の多項式は何ですか？そうでない場合、それを証明する方法は？
たとえば、 $q(x)=x^2+\frac{1}{2}x+1$ そして $p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$、その後 $p(q(x))=x^6+\frac{3}{2}x^5+\dots$、だからどんな整数でも $a_i$選択すると、結果の多項式は非整数係数になります。モニック条件は重要です。そうしないと乗算できるからです。$p(x)$すべての係数が整数であることを保証するような整数を使用します。私は一般的な多項式の合成係数を調べようとしましたが、これは次の式に従う必要があると思います。
\ begin {align} [x ^ r] p（q（x））= \ sum_ {k_1 + 2k_2 + \ dots + mk_m = r} \ sum_ {k_0 = 0} ^ {n-（k_1 + \ dots + k_m）} \ binom {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} {k_0、k_1、\ dots、k_m} a_ {k_0 + k_1 + \ dots + k_m} \ left（\ prod_ {j = 0} ^ {m} b_j ^ {k_j} \ right）\ end {align} （ここ$a_i$ そして $b_i$ の係数は $p(x)$ そして $q(x)$ 度付き $n$ そして $m$、それぞれ）。しかし、それが非整数を与えることを証明するためにどの係数に焦点を合わせるかはまったく明確ではありません。
これは、解決しようとしたときに発生しました https://math.stackexchange.com/questions/3785073/infinitely-many-solutions-leads-to-existence-of-a-polynomial、しかしそれ自体で十分に面白いようです。
回答
実際、私たちは次の仮定を無視するかもしれません $q$モニックです。構図$p \circ q$ すべての整数係数を持つことはできません。
レットのために $p$ の係数の完全に単純化された分母の素因数である $q$。最大のものを検討してください$k$ st $p^k$ の分母の要因です $q$係数。次に、多項式を記述します$q$ なので $x^j w(x) / p^k + s(x)$、ここで、のすべての完全に簡略化された分子 $w(x)$ で割り切れない $p$ 完全に簡略化された分母はありません $s(x)$ で割り切れる $p^k$、 そしてどこに $w$ゼロ以外の定数項があります。これを行うには、すべての用語をで割り切れる分母でグループ化します。$p^k$、取得 $x^j w(x) / p^k$、および分母がで割り切れないすべての用語 $p^k$、取得 $x(x)$。
しましょう $n$ の次数である $p$、およびの係数を考慮します $x^{jn}$ に $p \circ q$。貢献する加数の1つは$w(0)^n / p^{kn}$、完全に簡略化されています。そして、他のどの被加数も分母をで割り切れることはできません$p^{kn}$。したがって、この係数は整数ではありません。