しましょう $f: [a, b]\rightarrow R$ の各ポイントで微分可能である $[a, b ]$ そして $f'(a)=f'(b)$、に渡る線があることを証明する $a$ 接線 $f$

Question

しましょう $f: [a, b]\rightarrow R$ の各ポイントで微分可能である $[a, b ]$、そしてそれを仮定します $f'(a) = f'(b)$。少なくとも1つのポイントがあることを証明する$c$ に $(a,b)$ そのような

$$ f'(c) = \dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} $$

私の試み：

定義する $h(x) = \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ オン $(a,b]$ そして $h(a) = f'(a)$。そのことに注意してください$h$ 継続している $[a,b]$。

今 $$h'(x) = \dfrac{f'(x)}{x-a}-\dfrac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}$$

定義することに注意してください $h'$ オン $(a,b]$

私たちの目標は、 $h(x)$ にあり $(a,b)$ だから私たちは主張することができます $h'(c)=0$ いくつかのための $c\in (a,b)$。

物事を動かすと、 $f'(x) = h'(x)(x-a)+h(x)$ オン $(a,b]$。私たちはそれを観察します$h(x)$ 厳密に増加している（または厳密に減少している）場合 $f'(x)$また、厳密に増加しています（または厳密に減少しています）。したがって、$f'(a)=f'(b)$ 極値があります $c$ ために $h(x)$。ここで、矛盾を回避するのであれば、矛盾が発生します。$f'(a)>d>f'(d+\epsilon)$ （仮定 $f'$ 増加しています） $\epsilon>0$。中間値の定理型の補題をに適用する$f'$単調性と矛盾します。したがって、$f(a)<f(a+\epsilon)$ のために $\epsilon>0$。

したがって、 $h'(c)=0$ 意味する $$\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(c)$$

私は証明の検証だけを探しています。私の証明が間違っている場合は、$\textbf{only respond with hints}$。

Answer 1

いくつかの小さな批評：

（𝑎、𝑏]でℎ ′を定義することに注意してください

代わりに「 $a < x \le b$"。あなたは定義していません $h'$; （商の法則などを使用して）評価し、この評価が有効なドメインに注目します。

私たちの目標は、 $ℎ(𝑥)$ にあり $(𝑎,𝑏)$ だから私たちは主張することができます $ℎ′(𝑐)=0$ いくつかのための $𝑐 \in (𝑎,𝑏)$。

これを次のように書き直します

私たちの目標は、それを一部の人に示すことです $c$ 厳密に $a$ そして $b$、 $c$ の極値です $h$。その後、次のように結論付けることができます。$h'(c) = 0$。

議論がどれほど敏感であるかを考えると、「極値」が何を意味するのかを明確にする価値があるかもしれません。場合$f$ たとえば、定数です。 $h$ は定数でもあり、定数関数には極値があると言うのは奇妙だと思う人も多いでしょう（他の多くの人はそれで問題ありませんが）。

....そして、私は他のことをする必要があるので、それは私が読むのをやめたところです。