証明する $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ もし $f$ 非縮退です
しましょう $f(\alpha, \beta)$ 上の双線形形式である $n$-次元線形空間 $V$ 数値フィールド上 $F$。証明する場合$f(\alpha, \beta)$ すべての部分空間に対して、非縮退です $V_1$ そして $V_2$ の $V$、その後 \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} 部分空間の場合 $W$ の $V$、左直交群 $W^{\perp_L}$と右直交群 $W^{\perp_R}$ によって定義されます \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}
定義上、私は（この方向で、非退化の $f$ 必要ありません） $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$。私は他の方向、特にどのように非退化性であるかについてあまり考えていません$f$ 適用する必要がありますか？
回答
$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$
私たちは最初に定義により次のことを証明します \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} しましょう $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$、その後、 $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$、 我々は持っています \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}
したがって、 $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$、すなわち、 $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$。逆に、$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$、その後、 $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$、 どこ $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$、 我々は持っています $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ すなわち、 $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$。2番目の等式も同様に証明できます。
場合 $f(\alpha, \beta)$ 非縮退である場合、任意の部分空間について $W$ の $V$、 $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$。定義により、$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$。他の方向を示すために、それはによって示されることができます$f$ 任意の部分空間に対して非縮退です $W$、 $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$
その後、 \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} この平等と $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ それを意味する $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$。同様に、$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$。
今によって $(1)$ そして $(2)$、 我々は持っています \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} これで証明は完了です。
（平等 $(*)$ 間のマップを構築することによって確立することができます $W^{\lbot}$ 最初の解空間へ $\dim(W)$ マトリックスの列 $(f(\alpha_i, \alpha_j))$。）