素因数分解を使用してUFDで一般的なユークリッドの補題を証明する

Dec 05 2020

私はこの定理の多くの証明を見てきました:UFDでは $(a,b)=1$ そして $a|bc$ その後 $a|c$。彼らは主にここのようなgcd分配法則を使用します。さて、UFDが持っている特性に頼るだけでこれを証明したかったのです。

私の試み:以来 $a|bc$ それからいくつかのために $r$ 我々は持っています $ar=bc$。今、存在によって、私たちは次のような非単位要素が$a$ 次のように書き直すことができます $t_1×....t_n$ どこ $t_i$ 既約である場合、これを行うことができます:

$$p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i}$$ (どこ $p_i$$g_i$$q_i$ そして $h_i$素数です。)一意性により、右側のセットも左側にある必要があります。私は正しいですか?しかしそれ以来$(a,b)=1$ その後 $a$ そして $b$素元を共有するべきではありません。どういうわけか$A$ のサブセットです $C$。私はこれを実際に管理することはできませんが、集合論の問題のようになりつつあります。

私自身のアプローチを手伝ってくれませんか?

回答

4 paulblartmathcop Dec 05 2020 at 20:48

あなたはとても近いです。あなたが述べたこの方程式を振り返ってみましょう: '

$$ p_1^{α_1}...p_n^{α_n} g_1^{ε_1}...g_m^{ε_m} =q_1^{β_1}...q_k^{β_k}h_1^{ψ_1}...h_i^{ψ_i} $$

対応する $ar=bc$。あなたが言ったように、私たちはUFDにいるので、多重度で数えられた素数のセットは、両側で同じです(単位まで)。さらに、$(a,b)=1$ その後、いいえ $p_i$ 分割できます $b$。もう一度、独自性によって、それは$p_i$ 分割できます $q_j$。実際、私たちはさらに進んで、ノーと言うことができます$p_i^{\alpha_i}$ 分割できます $q_j$。これをまとめると、すべて$p_i^{\alpha_i}$右側の因数分解に表示される必要があります(単位まで)。さらに、$p_i^{\alpha_i}$ 除算できません $q_j$。したがって、ユニットまで、$p_i^{\alpha_i}$ それぞれがいくつかを分割する必要があります $h_j^{\psi_j}$。したがって、のすべての素因数$a$ 多重度除算でカウント $c$。したがって、$a \mid c$

3 BillDubuque Dec 05 2020 at 23:26

それは数の帰納法による自然な証拠を持っています $\:\!k\:\!$ の素因数の $\,a,\,$帰納的ステップとしてユークリッドの補題を使用します(素数が積を分割する場合、それはいくつかの要素を分割します)。場合$\,k=0\,$ その後 $\,a\,$ ユニットなので $\,a\mid c.\,$ そうしないと $\,a = p\bar a\,$ 素数のために $\,p\,$ そう $\,p\bar a\mid bc\,\Rightarrow\,p\mid b\,$ または $\,p\mid c,\,$ そう $\,\color{#c00}{p\mid c}\,$ 沿って $\,(p,b)=1\,$ 沿って $\,(p\bar a,b)=1$。キャンセル$\,p\,$ から $\,p\bar a\mid bc\Rightarrow \bar a\mid b\,\color{#c00}{c/p},\,$ そして $\,(\bar a,b)=1\,$ 沿って $\,(p\bar a,b)=1.\,$ 通知 $\,\bar a\,$持っている少数のより素因数を$\,a=p\bar a,\,$ したがって、 $\,\bar a\mid \color{#c00}{c/p}\underset{\textstyle\times\, p}\Rightarrow p\bar a\mid c\ $ (すなわち $\,a\mid c),\,$ 帰納法による。

運動 $ $証明で使用される素因数分解の存在一意性のすべての暗黙的な使用を明示的にします(完全に厳密である必要があります)。