その下での制約 $\rho(x, y) = |x - y|^d$ 三角不等式を満たす

Question

純粋に代数的な手段で（反例にすぐに頼ることなく）それを証明することは可能ですか？ $\rho(x, y) = |x - y|^d$ 三角不等式を満たさない $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ にとって $d = 2$？そして、どのような制約の下で$x, y, z$それは不等式を満たしていますか？私は理由を見ようとしています$\rho$ の有効なメトリックにすることはできません $\mathbb R$。

ボーナスの質問：他にどのような価値があるのか $d \in \mathbb R$ しますか $\rho$ 三角不等式を満たさない。

Answer 1

不等式は $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ にとって $a, b \geq 0$。パッティング$a=b=1$ わかります $2^{d} \leq 2$。したがって、$d \leq 1$必要条件です。どんな場合でも$d \in (0,1]$不等式は有効です。これは、それを観察することによって証明することができます$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ の減少関数です $a$ と消える $a=0$。

いつ $d<0$、 $|x-y|^{d}$ いつ定義されていません $x=y$ したがって、メトリックは生成されません。 $d=0$ あなたに任されています。