すべて $A_i$ 次のような接続されたセットです $\bigcap\limits_{i\in E} A_i \neq \emptyset$ その後 $\bigcup\limits_{i \in E} A_i$ 接続されています[重複]

Dec 11 2020

これは私の証拠です


そうではないと思います。次に、$\cup A_i$ 開いているパーティションがあります $\{U,V\}$

$U \subseteq \cup A_i$ したがって、2つのケースのみを示す必要があります。

  1. $U \subseteq \cup A_j$$U \neq \cup A_j$ いくつかのための $J \subseteq E$。それからいくつかが存在します$A_k$ そのような $U \neq A_k$$U \cap A_k \neq \emptyset$。したがって、$\{ U \cap A_k,V \cap A_k \}$ のオープンパーティションです $A_k$。仮定により、$A_k$つながっている。[との矛盾です$\cup A_i$ 切断されています]

  2. $U= \cup A_t$ いくつかのための $T \subseteq E$。以来$V \neq \emptyset$、いくつかあります $A_k$ そのような $(A_k-U) \neq \emptyset$。しましょう$J=T \cup \{k\}$。それからケース1では、それは[と矛盾しています$\cup A_i$ 切断されています]


大丈夫ですか?
これについてはよくわかりません...

回答

1 mathcounterexamples.net Dec 11 2020 at 10:07

あなたの証明では私が理解できないことがいくつかあります。特に:

  1. $U \neq \bigcup_j A_j$ :ユニオンはどのセットで実行されますか?

  2. ケース2についても同じです。 $T$

私はただ言うだろう $$\bigcap_{j \in J} A_j$$ 空ではないはずです、取りましょう $x \in \bigcap_{j \in J} A_j$

仮説によるように $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U \cap V,$$ 一般性を失うことなく、 $x \in U$ (私たちはの役割を交換することができます $U,V$ その他の場合)。

今、 $j \in J$$A_j$ 接続されているはずであり、 $x \in A_j$。したがって、$A_ j \subseteq U$ そして最後に $$\bigcup_{j \in J} A_j \subseteq U$$ 組合がつながっていることを証明する。