すべての製品トポロジー/スペースは実数のユークリッド空間を超えていますか？
今日の初めまで、私が「実数」について考えたとき、私は実数の純粋なセットだけを考えました。これは集合論的であるように思われるので、私はそうするのを間違えたようですhttps://en.wikipedia.org/wiki/Baire_space_(set_theory)。代わりに、https://en.wikipedia.org/wiki/Real_number#Definitionセットであり、それを使って何ができるか、つまり、フィールド演算（加算と乗算、代数的逆元、つまり減算と除算、および結合法則、可換性などに関するすべての規則）と順序付けのようです。したがって、実数は次のように書くことができます。$(R, +, \cdot, <)$。通常、私たちはそれらを次のように書きます$\mathbb R$ しかし、実数でこれらのことができることを知っています。
次に、 https://en.wikipedia.org/wiki/Product_topology、これ
は、積空間と呼ばれる自然なトポロジーを備えた位相空間のファミリーのデカルト積です。
有限数から（$n\in\mathbb N$）実数の、 $\mathbb R^n$。のカップルhttps://math.stackexchange.com/questions/3925036/how-do-i-formally-write-down-a-euclidean-space-with-symbols そのことを述べる $\mathbb R^n$すでにユークリッド空間です。言い換えれば、実数のすべての有限次元積空間はユークリッド空間です。
しかし、私はそれがどうあるべきかわかりません。ユークリッド空間の場合、私も必要になります
- 完全
- 線形結合
- https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_distance メトリックとして、
- https://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#Euclidean_norm
- 「通常の」ドット積
今、私にはそう思われます
- 完全性は、実数の完全性から実数上のすべての製品スペースに継承されます
- 線形結合は、 https://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product。直接製品が常に製品トポロジに含まれるかどうかはわかりませんが！
- ユークリッド距離はユークリッドノルムによって誘導されます
- ユークリッドノルムは、「通常の」内積によって、またはJWTannerによると https://math.stackexchange.com/questions/3925036/how-do-i-formally-write-down-a-euclidean-space-with-symbols、内積はユークリッドノルムによって誘導されます。ただし、そのうちの1つは別の場所から派生している必要があります。
したがって、ユークリッド空間のプロパティの多くは、実際の値を超えるすべての製品空間が持つプロパティであるように思われます。ただし、実際の値を超えるすべての積空間で、ユークリッド空間のように内積が定義されている必要がある理由がわかりません。たとえば、内積を誘導せずに、ユークリッド内積ではない別の内積を使用することを選択できます。
それで、すべての製品空間は実数のユークリッド空間を超えていますか？もしそうなら、ドット積はどのように必然的に誘発されますか？
回答
ベール空間についてのあなたのコメントがわかりません。
たとえば、ユークリッド内積ではない別の内積を使用することを選択できます。
はい、本当です。あなたが学んでいるのは「$\mathbb{R}^n$"は実際には非常にあいまいな表記です。コンテキストに応じて、
- セット
- A https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_space （従来はユークリッドトポロジーを使用）
- A https://en.wikipedia.org/wiki/Differentiable_manifold （従来は「通常の」滑らかな構造で）
- A https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space （従来はユークリッド距離）
- A https://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space 以上 $\mathbb{R}$
- A https://en.wikipedia.org/wiki/Normed_vector_space （従来はユークリッドノルム）
- AN https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space （通常、対角内積 $\sum_{i=1}^n x_i y_i$）
- A https://en.wikipedia.org/wiki/Commutative_algebra（点ごとの乗算あり）; これはおそらく最も一般的でないオプションです。
これは数学の標準的な慣習の一部であり、 https://ncatlab.org/nlab/show/structured+set構造の残りの部分に明示的に名前を付けずに、基になるセット（キャリアセットとも呼ばれます）のみを使用します。これは便宜上です。ほとんどの場合、これを行うのは面倒であり、ほとんどの人はとにかくコンテキストからあなたが何を意味するのかを理解しています。
ただし、実際の値を超えるすべての積空間で、ユークリッド空間のように内積が定義されている必要がある理由がわかりません。
それは必要はありません; 誰かが「内積空間」と言った場合、それは慣習です$\mathbb{R}^n$「これ以上詳しく説明することなく、上で定義した対角内積を具体的に参照しています。この規則は、とりわけ、すべての内積が $\mathbb{R}^n$ （ここで私は意味します $\mathbb{R}^n$ 実際のベクトル空間！）は、座標の線形変化によって関連付けられているため、どちらを選択してもかまいません。対角線は、計算が非常に簡単です。
内積があるとしましょう $\langle \cdot, \cdot \rangle$ オン $\mathbb{R}^n$。次に、Graham-Schmidtプロセスを使用して、正規直交基底を見つけることができます。$\{v_1, \dots, v_n\}$ の $\mathbb{R}^n$この内積に関して。次に、$v = \sum x_iv_i$ そして $w = \sum y_i v_i$、次に内積の双線形特性により、次のことがわかります。 $$\langle v, w \rangle = \sum_{i = 1}^n \sum_{i = 1}^n x_i y_j \langle v_i, v_j \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i y_i \langle v_i, v_i \rangle = \sum_{i = 1}^n x_i y_i = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} $$ 以来 $\langle v_i , v_j \rangle$ です $1$ もし $i = j$ そして $0$ もし $i \neq j$。これが、内積が通常の意味で内積に取って代わられる理由です。
線形結合の場合、少し注意する必要があります。通常、物事はベクトル空間の積でかなりうまく機能しますが、次元が無限である場合（つまり、基底がない場合）は少し奇妙になります。
$\mathbb R$たくさんあります。最も基本的には単なるセットですが、ベースセットに追加して作成できる構造がたくさんあります。$\mathbb R$いくつか例を挙げると、順序付けられた集合、グループ、体、ベクトル空間、距離空間、位相空間、滑らかな多様体、代数多様体など、異なるカテゴリの数学的対象。通常、これを行うための賢明で一般的な方法は1つしかなく、参照しているオブジェクトの種類がコンテキストから明らかであるため、結果のオブジェクトも単に呼び出されます。$\mathbb R$。これらのオブジェクトはすべて、与えられた追加の構造が異なることに注意してください。
少し程度は少ないですが、これは $\mathbb R^n$：それは（通常）のn倍の積です $\mathbb R$ セット、ベクトル空間、位相空間、または他の多くのものであるかどうかにかかわらず、現在私たちが見ているカテゴリにそれ自体があります。
つまり、ユークリッド空間について話しているのです。ユークリッド空間自体は、いくつかの異なるタイプのオブジェクトによって共有される名前です。コンテキストなしで「ユークリッド空間」と言う場合、たとえば、距離空間、距離接続幾何学、またはリーマン多様体を意味する可能性があります。 。
方法を見てみましょう $\mathbb R^n$距離空間です。距離空間は、関数を持つ単なる集合Xです。$d : X \times X \to [0,\infty)$これは、距離関数の特性（対称性、正性、三角不等式）を満たします。セットはわかっています。これは通常のデカルト積です。次に、距離関数を定義しましょう。
$$d \colon \mathbb R^n \times \mathbb R^n \to [0, \infty)\\$$ $$d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \ldots + (x_n - y_n)^2}$$
十分に単純です。ここでは、実数に対して一連の算術演算を行っています。これは、次の通常の構造から借用しています。$\mathbb R$ 順序体として、そして私たちはの理論を使うことができます $\mathbb R$ この定義が実際に距離空間のを満たしていることを証明するための順序体として。
「ユークリッド空間」の他の意味の定義は、異なるタイプの追加構造を必要とするため、非常に異なります。ただし、これらの構造は非常に類似しており、別のタイプの構造のみを指定して、各タイプの構造を再構築できます。
それでは、デカルト積について少し話しましょう。さまざまなカテゴリで、そのカテゴリの2つのオブジェクトを取得し、その基本セットが2つの入力オブジェクトの基本セットの直積であるそのカテゴリの新しいオブジェクトを標準的かつ賢明な方法で定義するプロセスを定義できます。 。2つのセットの積はセットであり、2つの位相空間の積は位相空間であり、2つの距離空間の積は別の距離空間です。
別のカテゴリの具体例、今回は内積空間のカテゴリ：2つの内積空間が与えられた場合 $X$ そして $Y$、内積付き $g_x$ そして $g_y$ それぞれ、次のようにデカルト積を定義できます。
内積空間は、内積のあるベクトル空間です。ベクトル空間については、$X \times Y$ （これは単なるベクトル空間の積です）、そして内積を定義することができます $g$ そのように：
$$g((x_1, y_1), (x_2, y_2)) = g_x(x_1, x_2) + g_y(y_1, y_2).$$
この新しい空間が内積空間の定義を満たしていることを確認できます。実際、この製品の定義を使用すると、実際には数学的に証明可能なステートメントになります。$\mathbb R^n \times \mathbb R^m \cong \mathbb R^{n+m}$、 どこ $\cong$つまり、これら2つのオブジェクトは異なって定義されている可能性がありますが、カテゴリ内では区別できません。実際にはそうです$\mathbb R^n \times \mathbb R^m \cong \mathbb R^{n+m}$ あなたが両方を持っているほとんどすべてのカテゴリーで $\mathbb R^n$ そして $\times$、および他のカテゴリでは、それらは依然として弱い形式の同等性を満たします。
結論として：と呼ばれるものがたくさんあります $\mathbb R$、と呼ばれる多くのもの $\mathbb R^n$、と呼ばれる多くのもの $\times$、それらは異なるカテゴリにあるためです。と呼ばれるリーマン多様体を取得するには$\mathbb R^n$、の製品を取るだけでは十分ではありません $n$と呼ばれるセットのコピー$\mathbb R$、またはと呼ばれる順序体$\mathbb R$、しかしあなたは実際にの製品を取る必要があります $n$と呼ばれるリーマン多様体のコピー$\mathbb R$。
- ユークリッドアフィン空間
ユークリッド空間、 $E$、アフィン空間を指します。ポイントと座標について考えてください。ピタゴラス定理によって決定されるユークリッド距離があります。ユークリッド距離、$d$、スペース付き $E$ 距離空間を作ります $(E,d)$
- ユークリッドベクトル空間 $(+,-,*)$
これらは、ポイントを使用しなくなったという点でユークリッド空間とは異なります。これらの2つの概念はしばしば組み合わせて使用され、実際には2つの異なる構造であることを忘れがちです。
n次元のユークリッドベクトル空間、 $\overrightarrow{E}$、は内積空間です。ベクトル加算、内積があり、ユークリッドノルムは、次のように定義された2点間の距離に類似しています。$E$。ユークリッドノルムは明らかに私たちのベクトル空間の計量です。$\overrightarrow{E}$ とほぼ同じです $\mathbb{R^n}$、では、なぜ2つを区別する必要があるのでしょうか。
- 実数の座標空間/アフィン実空間
実際のベクトル空間について言及するとき $\mathbb{R}^n$実際には、アフィン空間のプロパティが含まれているn次元のユークリッドベクトル空間を参照しています。座標系をに割り当てたら$\mathbb{R}^n$「座標空間」があります。デカルト座標系は確かにそのような空間を印象づけるのに最もよく知られていますが、他のいくつかの興味深いものを考えることができると確信しています。