ターゲット制御キュービットを交換することによって、controled-Zの動作が変更されないのはなぜですか？

Question

「量子コンピュータサイエンス」という本では、誤り訂正符号を説明する際に、この絵を使って「ターゲットと制御量子ビットを交換しても、controled-zの動作は変わらない」と書かれています。

これは、cZ（制御コードワードキュービットとターゲットコードワードキュービット）の動作がcz（制御コードワードキュービットとターゲットアンシラキュービット）に等しいことを意味しますか？これが事実である場合、それはなぜですか？

私の理解では、| 1> Z | 0>（最初のキュービットは制御キュービットです）はZ | 0> | 1>（2番目のキュービットは制御キュービットです）と等しくありません。

Answer 1

任意の2キュービット状態がある場合：

$$|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle$$

その後、適用した後 $CZ_{1 \rightarrow 2}$ 取得する最初のキュービットから制御されます。

$$CZ_{1 \rightarrow 2}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

制御キュービットが $|1\rangle$ そして $Z$ ゲートは振幅の符号を変更します $|1\rangle$ 状態、したがって $CZ_{1 \rightarrow 2}$ アクションはの符号を変更しています $|11\rangle$。

今のアクション $CZ_{2 \rightarrow 1}$：

$$CZ_{2 \rightarrow 1}|\psi \rangle = a |00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle - d|11\rangle$$

ここでも同じことが言えます。 $|11\rangle$同様の理由で変更する必要があります。これは、行列を使用しても確認できます。

$$CZ_{1 \rightarrow 2} = |0\rangle \langle 0| I + |1 \rangle \langle 1| Z = \\ = \begin{pmatrix} 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&-1 \\ \end{pmatrix}=\\ =I |0\rangle \langle 0| + Z |1 \rangle \langle 1| = CZ_{2 \rightarrow 1} $$