環で定義された関数の分析コンポーネントの一意の定義
彼の著書「 ComplexAnalysis 」（5.1.3）で、Laurentシリーズについて話すとき、Ahlforsは複雑な関数が$f(z)$、これは年輪で分析的です $R_1 < |z-a| < R_2$、常に次のように書くことができます
[...]合計 $f_1(z) + f_2(z)$ どこ $f_1$ の分析です $|z-a|<R_2$ そして $f_2$ の分析です $|z-a|>R_1$ 可除特異点 $\infty$。
どこ
$$f_1(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=r} \frac{f(\zeta) d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $| za | <r <R_2$ } $$
$$f_2(z) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta - a|=r} \frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $R_1 <r <| za |$}$$
次に、の値として $r$である「不平等が満たされている限り、無関係」、$f_1$ そして $f_2$ 一意に定義され、の分析関数を表します $|z-a|<R_2$ そして $|z-a|>R_1$それぞれ（この質問と回答も参照してください）。
私はそれが何を意味するのか理解しようとしています $f_1$ そして $f_2$一意に定義されます。たとえば、私が取るとどうなりますか$f_3(z)=f_1(z)+z$ そして $f_4(z)=f_2(z)-z$？それは私にはまだ真実のようです$f_3(z) + f_4(z) = f(z)$ そして $f_3(z)$ で分析的です $|z-a|<R_2$、ながら $f_4(z)$ で分析的なようです $|z-a|>R_1$ （ただし、無限大で何が言えるかわかりません。また、どのように書くことができるかわかりません。 $-z$ 負の累乗の合計として）。
ペンローズが彼の著書「現実への道」（9.3）で（リーマン球での周波数分割を説明している）と言っていることを踏まえて、私はこれを求めています。
私たちは分割について考えます $F(z)$ それを2つの部分の合計として表現し、そのうちの1つは南半球に全形的に広がります。これはの正の周波数部分と呼ばれます。 $F(z)$-によって定義されるように $F^\mathbf{+}(z)$、含めることを選択した定数項の任意の部分、および他の部分と一緒に、北半球にホロモルフィックに拡張します-の負の周波数部分と呼ばれます $F(z)$ によって定義されるように $F^\mathbf{-}(z)$定数項の残りの部分。定数項を無視すると、この分割は、2つの半球のいずれかに拡張するためのこの正則要件によって一意に決定されます。
ここに $F(z)$は「単位円を含むいくつかの開いた領域で正則」である関数です。
したがって、この場合は $F^\mathbf{+}$ そして $F^\mathbf{-}$ユニーク（定数項は別として）？それなら$F^\mathbf{-}=f_1$ そして $F^\mathbf{+}=f_2$？たぶんこれはまた、ローランの開発の独自性に由来します$F$ （Ahlforsからの演習、同じセクション）、しかし私はその方法を見ることができません。
ばかげた（多分）質問をありがとうと申し訳ありません！
回答
関数 $f_2$ で可除特異点を持っています $\infty$。これは、制限が$\lim_{z\to\infty}f_2(z)$ 存在する（ $\Bbb C$）。場合$f_4(z)=f_2(z)-z$、それからそれは真実ではありません$\lim_{z\to\infty}f_4(z)$ 存在します（ここでも、 $\Bbb C$）。