単位ベクトルとスカラーの積の分散

Question

どうすれば計算できますか

$$Var(AX)$$

もし $A$ は、の間で均一なランダム位相を持つ単位ベクトルです。 $[0,2\pi]$ そして $X$ に一様分布するスカラー確率変数です $[-1,1]$。 $A$ そして $X$独立しています。ありがとうございました。

Answer 1

以来 $A=[\cos(\theta)\ \sin(\theta)]^T$、 どこ $\theta\sim U[0,2\pi], $$\ operatorname {var}（AX）$は、$ 2 \ times 2 $の共分散行列です。最初の（左上の）エントリは$ \ cos（\ theta）X $の分散です：

$$ \ operatorname {var}（\ cos（\ theta）X）= \ mathbb E [\ cos ^ 2 \ theta] \ mathbb E [X ^ 2]-\ mathbb E [\ cos \ theta] ^ 2 \ mathbb E [X] ^ 2 = E [\ cos ^ 2 \ theta] \ mathbb E [X ^ 2] $$

$ E [\ cos ^ 2 \ theta] $と$ \ mathbb E [X ^ 2] $は、PDFを使用しても問題なく見つけることができると思います。他のエントリの計算も同様になります。