単純加群の導来関数の計算
検討する $M =\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ として $R = \mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$モジュール。私は何を計算しようとしています$Ext_{R}^n(M,M)$ すべてのためです $M$。この目的のために、私は
$$\cdots \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3}\mathbb{Z}/9\mathbb{Z} \xrightarrow{\text{projection}} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow 0$$
無料の(したがって射影的な)解決策であること。計算するには$Ext_{R}^n(M,M)$、私は今、のホモロジー群を取るだけです $$0 \rightarrow \text{Hom}(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3}\text{Hom}(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z},\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\xrightarrow{\times 3} \cdots.$$ 以来 $\text{Hom}(R,M) \cong M$、上記は単なるチェーンです $$0\rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \xrightarrow{\times 3} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\xrightarrow{\times 3} \cdots$$ カーネルがすべて $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ そして画像はただです $0$ そのため $Ext_R^N(M,M) = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ すべてのために $n$。これは正しいですか、私は小さな間違いをしましたか、それとも私は何か重要なことを根本的に誤解しましたか?(または両方!)
回答
あなたは小さな間違いを犯しました:あなたが正しい正確な関手を持っているなら注意してください $F$、そしてあなたは計算したい $L_*F(X)$、あなたは射影決議を取ります $P_*\to X$ そして、の相同性を取る $F(P_*)$、の相同性ではありません$F(P_*\to X)$。
だからあなたの小さな間違いはあなたがのホモロジーグループを探していると言っている $\hom(\mathbb Z/3,\mathbb Z/3)\to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3) \to \dots$
(ちなみに、最初のマップはIDで識別されることに注意してください $\mathbb Z/3\to\mathbb Z/3$、 ではない $\times 3$、それは投影の双対であるため $\mathbb Z/9\to\mathbb Z/3$)
あなたが探している相同性だけを持っている鎖複体 $\hom(\mathbb Z/9,\mathbb Z/3)$その中にあります。しかし、それはあなたが言う結果をあなたに与えます。