たわみから計算されたねじりおよび曲げ応力

Question

行った計算を確認するために助けが必要です。この方法を使用できるかどうか、または間違った仮定を使用しているかどうかを知りたいです。問題を説明させてください、長さのあるビーム$l$一端が固定されています。力$F$ 一瞬 $M_v$は梁の端に適用されます。下の図を参照してください。ビームの断面は円形です。力により、梁の端が長さを変形します$\delta$。たわみと、長さや直径などの幾何学的パラメータのみがわかっています。

オイラー-ベルヌーイビーム理論を使用すると、たわみは次のように表すことができます。

$$\delta = \frac{Fl^3}{6EI} \tag{1}$$

どこ $E$ 材料のヤング率であり、 $I$ 慣性、つまり $I=\frac{\pi d^4}{64}$円形断面の場合。ここに$d$ はビームの直径です。

（1）に慣性を挿入し、次の式として再配置します。 $F$ 与える：

$$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3} \tag{2}$$

これは、断面の最大曲げ応力の一般式に挿入できます。

$$\sigma_{max}= \frac{Fl}{\frac{\pi d^3}{32}} = \frac{32Fl}{\pi d^3} \tag{3}$$

ここでは、円形断面の曲げ抵抗がすでに式に挿入されており、曲げモーメントが最大モーメントに置き換えられています。 $Fl$。

これはよくわからない部分です。（2）の力を使って（3）に挿入し、最大の応力を得ます。これが可能かどうか、またはエラーが発生した場合はお知らせください。

さらに、せん断応力は次の式から計算できます。 $\tau = \dfrac{M_v}{W_v}$ どこ $W_v = \dfrac{\pi d^3}{16}$、これは材料のねじり抵抗です。次に、フォンミーゼス降伏基準を使用して、材料の最大応力の推定値を取得します。

$$\sigma_{von\ Mises} = \sqrt{\sigma^2+3\tau^2}$$

前に尋ねたように、私はこれがこの問題の解決を進めるための可能な方法であるかどうか、または私が間違っているいくつかの方法/仮定を使用しているかどうかに主に興味があります。

Answer 1

一般的に、あなたがしていることは大丈夫です。（曲げまたはねじれによる）たわみが十分に小さいと仮定すると、問題を個別に解決できます。すなわち：

• 正確に曲げを取得するために必要な力を計算します。 $$F = \frac{3 \delta \pi d^4 E}{32l^3}$$
• せん断応力の大きさを計算します。

警告

ただし、その時点から、いくつかの注意点があります。について：

a）曲げ：計算している法線応力の最大の大きさは、梁の上部と下部にあります。中立軸上のすべての点の大きさはゼロである必要があります。

b）ねじりせん断：距離での大きさ$\frac d 2$は一定ですが、方向が変わります。次の画像を参照してください。

1。

最大ねじり応力の大きさは正しくあります：

$$\tau_t = \frac{M_u}{\frac{\pi d^3}{16}}$$

c）せん断：通常は廃棄されますが、関連するせん断応力もあります$$\tau_s = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4}}$$。通常、それは非常に小さいですが、一定の方向（この場合は下向き）もあります。

あなたが取る必要があるポイントはあなたがベクトルとして追加する必要があるということです $\tau_s$ そして $\tau_t$。したがって、マテリアルのさまざまなポイントで、さまざまな値があります。画像1が与えられ、点A、B、C、Dを反時計回りに取ると、結果として生じるせん断応力は次のようになります。

• 右端の点（点A（+ x、y = 0）は $$\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$$。
• 最上点（点B（x = 0、+ y）は $$\tau_{B, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$。
• 左端の点（点C（-x、y = 0）は $$\tau_{C, res} = \tau_s + \tau_t$$。
• 最下部のポイント（ポイントD（x = 0、+ y）は $$\tau_{D, res} = \sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$$。

最大応力

ですから、主なことはフォンミーゼスの方程式に関することです。どの値をプラグインしますか$\sigma$ そして $\tau$。

各ポイントを通過し、対応する応力を適用する必要があります。

• ポイントA、使用 $\sigma_{A} = 0$ そして $\tau_{A, res} = \tau_s - \tau_t$
• ポイントB（およびD）、使用 $\sigma_{B} = \frac{32Fl}{\pi d^3}$ そして $\tau_{, res} =\sqrt{\tau_s^2 + \tau_t^2}$
• ポイントC、使用 $\sigma_{A} = 0$ そして $\tau_{A, res} = \tau_s + \tau_t$

残念ながら、確認する必要があるのはこれらだけではありません。たとえば、少なくとも次の項目を確認する必要があります。$\pm 135$ 度（画像内のその求積法） $\tau_s $ そして $\tau_t$互いにキャンセルしないでください）。しかし、それがアイデアです。