特定の汎関数の下での多項式と導関数の比率

Dec 30 2020

しましょう $p(x)$ 次数の多項式である $n>2$、ルーツ付き $x_1,x_2,\dots,x_n$(多重度を含む)。しましょう$m$正の偶数の整数になります。次のマッピングを定義します$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

質問。にとって$\deg p(x)=n>2$ そして $p'(x)$ その導関数、あなたは表現できますか $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ の関数として $m$ そして $n$ 一人で?

リマーク。ヒョードルの質問に促されて、私がちょうど計算した(証明されていない)ショーケースとして、$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

回答

3 MaxAlekseyev Dec 31 2020 at 11:31

ここに関数コンピューティングを提供するSageMathコードがありますV(m)$V_m(p)$ の基本対称関数の観点から $x_1,\dots,x_n$ (すなわち、の係数 $p$)。

たとえば、 $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$、その後 $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ 等々。

これらの表現から、 $m=2$すぐに続きます。ただし、大きい場合$m$ 比率 $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ の機能ではないようです $n$、私が計算でテストした $m$ まで $20$

3 FedorPetrov Dec 30 2020 at 05:38

これが本当なら、 $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ また、にのみ依存します $m$ そして $n=\deg p$、など、取得するまで $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$。我々は持っています$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ だからこれが本当なら、私たちは $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$。これはすでに誤りです$n=m=4$:のすべてのルーツが $p$ 0と1で、 $V_4=V_2$、 だが $V_2^2/V_4=V_2$ 修正されていません。