ウィキペディアのクレブシュ-ゴルダン係数の表を使用するにはどうすればよいですか？

Question

ウィキペディアには、クレブシュ-ゴルダン係数の概要を説明する素晴らしい記事があります。

たとえば、私の理解では、この表は、それぞれが最大の全角運動量を持つ2つの粒子を組み合わせる方法を示しています。 $1$ 最大角運動量を持つ1つの波動関数に $2$：

最後のテーブルから最初の列を取得します。それは私たちに教えてくれます、私は信じています：

$|2,0\rangle = \sqrt{\frac{1}{6}} |1,1\rangle |1,-1\rangle +\sqrt{\frac{2}{3}}|1,0\rangle|1,0\rangle+\sqrt{\frac{1}{6}} |1,-1\rangle|1,1\rangle$

私がこれをどのように解釈するか：

他の2つの粒子の波動関数のこのような組み合わせから生じる粒子の全角運動量は、全角運動量量子数2になります（したがって、全角運動量 $\sqrt{j(j+1)\hbar^2}=\sqrt{2(2+1)\hbar^2}$）、 だが $0$ の周辺 $z$ 軸（として $m_j$、私が理解しているのは、周りの角運動量です $z$ 軸は、 $0$）。

したがって、構成粒子の角運動量は互いに整列していません。実際、それらは十分に整列していないため、z方向の角運動量の合計は0になります。

何が起こっているのかというこの解釈は正しいですか？私の懸念は、テーブルがないことです$m=-1,-2$。私の状況の解釈が正しければ、これらと組み合わせた粒子を生成できなかった理由はわかりません。$m$ 値、私がそれを行うことができれば $m=0,1,2$。

Answer 1

ウィキペディアの記事には次のように書かれています。

簡潔にするために、 $M < 0$ そして $j_1 < j_2$省略されています。それらは単純な関係を使用して計算できます $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{1},j_{2};-m_{1},-m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,-M\rangle .$$ そして $$ \langle j_{1},j_{2};m_{1},m_{2}\mid j_{1},j_{2};J,M\rangle =(-1)^{J-j_{1}-j_{2}}\langle j_{2},j_{1};m_{2},m_{1}\mid j_{2},j_{1};J,M\rangle.$$

言い換えると、負の値のクレブシュ-ゴルドン係数は $m$ 対応する正の値の値と同じ（符号まで） $m$、の符号を切り替える限り $m_1$ そして $m_2$ 同様に。