弱い $L^p$ 符号関数の区分的線形近似で極限に渡すための収束?
検討する $$ S_\epsilon(\xi) = \begin{cases} 1 & \text{ if } \xi > \epsilon \\ \xi/\epsilon &\text{ if } |\xi| < \epsilon \\ -1 &\text{ if } \xi < - \epsilon \end{cases}$$ これはの平滑化バージョンです $\mathrm{sign}$ 関数。
仮定 $u_n \to u$ 弱く $L^p([0,1])$ すべてのために $p \in [1,\infty]$ なので $n \to \infty$。それは本当ですか$S_\epsilon(u_n-1) \to S_\epsilon(u-1)$ 一部で弱く $L^p$?
回答
仮定します $\epsilon \le 1$。オン$[0,1]$、 $$ u_n(x) = \cases{ 4 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j} {2n}、\ tfrac {2j + 1} {2n} \ right)$\\ 0 & if $x \ in \ left [\ tfrac {2j + 1} {2n}、\ tfrac {2j + 2} {2n} \ right)$. } $$ 次に $u_n \rightharpoonup 2$ に $L^p([0,1])$ にとって $1 \le p < \infty$、 だが $S_\epsilon(u_n-1) \rightharpoonup 0 \ne \epsilon = S_\epsilon(2-1)$。
わからない $p = \infty$、しかし私はこの反例がうまくいくとは思えません。