有界変動のシーケンスにおける単調性の役割。

Aug 16 2020

それを思い出します; シーケンス$\left\{x_{n}\right\}$ 実数の数は、不気味な場合、有界変動関数であると言われます $$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$ 収束します。

収束シーケンスは、次のようにすることで、有界変動のシーケンスである必要はないことがわかっています。 $x_n=\frac{1}{n}$ でも $n$ そして $0$ 奇数の場合 $n$。しかし、単調な収束シーケンスはどうですか?それらは有界変動のシーケンスですか?もしそうなら、それを証明する方法は?

回答

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 16:52

ヒント:もし $\{x_n\}$ 増加している、

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$