페르미온 물리학

양자 물리학을 배웠거나 적어도 그것에 대해 들어 본 적이 있다면 이 슈뢰딩거 사람에 대해 들어봤을 것입니다. 알다시피 – 고양이 전체를 가진 사람? 그는 또한 양자역학에서 가장 유용한 방정식 중 하나인 슈뢰딩거 방정식의 배후에 있는 사람이기도 합니다. 언뜻 보면 방정식을 풀 수 없는 것처럼 보일 수 있지만(실제로 어떤 경우에는 그렇습니다!), 이 글을 읽고 나면 방정식을 이해하고 한 가지 시나리오에 대해 방정식을 푸는 방법까지 이해하게 될 것입니다. 준비가 된? 갑시다.

방정식은 다음과 같습니다. 무섭게 생겼어요. 쇠스랑도 있어요! 하지만 이 방정식에 대해 약간의 직관을 얻으려고 노력해 봅시다. 우리는 먼저 양자 역학의 에너지에 대해 이야기하는 것으로 시작하여 그것을 연산자로 홍보한 다음 파동 함수의 역할에 대해 이야기할 것입니다. 그런 다음 모든 것을 함께 연결하고 방정식을 풀 것입니다.

고전역학

고전 역학(및 양자 역학)에서 에너지 공식은 E = KE + PE입니다. 여기서 E 는 총 에너지, KE 는 운동 에너지, PE는 위치 에너지입니다. 이제 KE와 PE는 작성하는 데 약간의 시간이 걸리므로 몇 밀리초의 작성 시간을 절약하기 위해 물리학자들은 T와 V의 분명한 기호를 사용하여 운동 에너지와 위치 에너지를 각각 나타냅니다. 이제 우리는 E = T + V

각주: 고전 역학을 공부했다면 해밀토니안 공식을 사용하고 있음을 알 수 있습니다! 우리는 다른 날 라그랑지 공식을 다룰 것입니다.

이제 우리는 T=p²/2m(운동 에너지 공식)임을 압니다. 여기서 m=질량, p=운동량, 그리고 가장 어려운 기호인 ½=절반입니다. 질량은 항상 일정하지만 운동량은 항상 일정할 필요가 없습니다. 누군가 물체에 힘을 가하면 운동량이 변하기 시작하여 원래 값에서 벗어납니다. 이제 위치 에너지는 어떻습니까?

위치 에너지 공식은 V= -(F의 적분)이며 여기서 F는 힘입니다. 위치 에너지는 물체에 가해지는 힘에 따라 달라진다는 것이 명백해집니다. 서로 다른 힘이 있기 때문에 서로 다른 시나리오에서 잠재적 에너지는 서로 다른 값을 가질 수 있습니다. 예를 들어 중력 우물에서 전위는 V=mgx이지만 조화 발진기에서는 전위가 V=(1/2)kx²가 됩니다. 이것은 우리가 슈뢰딩거 방정식을 푸는 "시나리오"가 실제로 다른 잠재력이라는 것이 밝혀졌기 때문에 매우 중요합니다. 이것은 나중에 이해가 될 것입니다.

첫 번째 양자화

이제 양자 역학에서 우리는 "관찰 가능 항목"(T 및 E)을 취하여 연산자 를 갖도록 합니다.상대방. 우리의 목적을 위한 연산자는 하나의 값을 받아서 다른 값을 내뱉는 함수일 뿐입니다. 따라서 T는 일반적으로 T'로 표시되는 운동 에너지 연산자 대응물을 가지며, 에너지는 일반적으로 H로 표시되는 에너지 연산자 대응물을 취합니다. 위치 에너지는 해결되는 대신 "주어진" 것이므로 아무 것도 갖지 않습니다. 교환원. 이제 운동 에너지 연산자는 파동 함수에 작용할 때 파동 함수를 곱한 입자의 운동 에너지를 반환하는 연산자로 정의됩니다. 에너지 오퍼레이터도 마찬가지입니다. 이 모든 것이 다소 쓸모없고 추상적으로 보일 수 있지만 저를 믿으세요. 그렇지 않습니다. 우리는 거기에 도달하고 있습니다. 이제 T=(1/2m)p²가 어떻게 되는지 기억하십니까? 이는 T' = (1/2m)p^²를 의미하며 여기서 p^는 운동량 연산자입니다. 그리고 이전과 같이 p̂ ψ = p ψ여기서 p는 입자의 운동량입니다(다시 말하지만, 연산자는 함수에 작용하고 연산자와 관련된 모든 값을 곱한 함수를 반환합니다). 이제 운동량 연산자는

p^ = -ih(d/dx). 지금은 주어진 것으로 받아들이십시오. 이것은 다음을 의미합니다.

T' = -h²/2m(d²/dx²). 그리고 E = T + V이므로 H=(-h²/2m)(d²/dx²) + V입니다. 그러면 이제 양쪽에 파동 함수를 곱하여 다음을 얻을 수 있습니다.

H ψ = -h²/2m(d²ψ/dx²) + Vψ

그리고 앞서 H ψ = Eψ를 기억 하십시오.

E ψ = (-h²/2m)(d²ψ/dx²) + Vψ

이제 심호흡을 하세요. 우리는 많은 수학을 했고 당신이 길을 잃지 않기를 바랍니다. 우리는 방금 슈뢰딩거 방정식을 "유도"한 것으로 밝혀졌습니다! 이제 문제 해결에 대해 이야기하기 전에 이 "파동함수"가 무엇인지에 대해 이야기해야 합니다.

파동함수란?

고전 역학에서 우리는 입자의 운동 방정식을 풀기 위해 고전적인 해밀턴 방정식을 사용합니다. 운동 방정식은 입자가 주어진 시간에 어디에 있는지에 대한 방정식일 뿐입니다. 예를 들어, 자유 입자의 운동 방정식은 x(t)=vt + x0입니다. 초기 위치와 속도만 있으면 입자의 위치를 ​​언제든지 찾을 수 있습니다. 양자 역학에서는 대신 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 "파동함수"라는 것을 찾습니다. 파동함수 자체는 물리적으로 의미가 없습니다. 아무 의미도 없고 (직접적으로) 아무 것도 알려주지 않습니다. 의미 있는 것은 확률 밀도 를 제공하는 파동함수의 제곱입니다.. 확률 밀도는 측정했을 때 일정 범위의 입자를 찾을 확률을 알려주는 함수일 뿐입니다. 따라서 우리는 파동 함수가 확률 밀도의 "제곱근"이라고 말할 수 있습니다. 이제 우리는 마침내 슈뢰딩거 방정식 이 무엇인지에 대해 이야기할 모든 배경 지식을 갖게 되었습니다.

위의 방정식에서 알 수 있듯이 위치 에너지 V(x)를 제외하고 모든 것이 일정합니다. 우리는 특정 위치 에너지를 취하고 특정 위치 에너지가 있는 경우에 대한 방정식을 풉니다. 이것은 시스템에 어떤 스트레스가 있는지, 열, 전하, 전압 등이 중요하지 않기 때문에 매우 아름답습니다 . 그 어떤 것도 설명할 필요가 없습니다 . 당신이 알아야 할 것은 위치 에너지 함수뿐이며 방정식을 풀 수 있습니다.

(여기서 현학적으로 말하고 싶다면 "기술적으로"라고 말할 수 있습니다. 우리는 잠재력 자체 내부에 모든 것을 통합하고 있습니다. 또한 거꾸로 된 삼각형은 2차 미분의 약자입니다.)

계산

(미적분을 좋아하지 않는다면 이 부분은 건너뛰어도 됩니다)

이제 모든 곳에서 V(x)=0인 단순 포텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식을 풀어 봅시다. 알짜 힘이 0이기 때문에 이것은 자유 입자로 알려져 있습니다. 모든 억압에서 자유롭습니다! 고전적인 경우 운동 방정식은 x(t)=vt + x0이며 시공간 그래프에서 직선을 형성합니다. 양자의 경우 파동 함수가 어떻게 보이는지 봅시다.

V(x)=0이므로 슈뢰딩거 방정식은

-h²/2m(d² ψ/dx²) = Eψ

그런 다음 재정렬을 수행하고 다음을 얻을 수 있습니다.

d² ψ/dx² = -2mEψ/h²

이제 우변의 모든 항이 ψ를 제외하고 일정하다는 것을 알 수 있습니다. 방정식을 쉽게 풀 수 있기 때문에 좋습니다 . 그런 다음 상수 k를 sqrt(2mE/h)로 정의할 수 있습니다.

d²ψ / dx² = -k²ψ

그런 다음 오른쪽 용어로 방정식의 양쪽을 추가합니다.

d²ψ/dx² + k²ψ = 0

그런 다음 ψ(x) = exp(rx) 라고 가정합니다.

그리고 이것으로부터 우리는 얻는다

r=-k², r= +ik 또는 -ik

이는 ψ( x)=exp(ikx) 또는

ψ( x)=exp(-ikx)

방정식이 선형 이기 때문에 일반 솔루션을 얻기 위해 두 부분의 중첩(선형 조합)을 취할 수 있습니다.

ψ(x) = Aexp(ikx) + Bexp(-ikx)

기술적으로 끝났습니다. 상수 A와 B를 어떻게 결정할 수 있는지 궁금할 수 있습니다. 일반적으로 정규화 라고 하는 방법으로 이를 수행 하지만 이는 나중에 이야기하겠습니다. 이 시나리오에서는 정규화할 수 없습니다. 파동 함수에 대한 멋진 언어는 무한대 또는 마이너스 무한대로 갈 때 0에 접근하지 않습니다. 그렇다면 이 상태에 해당하는 A 및 B 값은 무엇입니까? 정규화할 수 없기 때문에 실제로 가능한 상태가 아니라는 것이 밝혀졌습니다. 이런!

그래도 걱정하지 마세요! 가능한 모든 파동 함수의 중첩이 실제 상태를 생성할 수 있음이 밝혀졌습니다. 이것은 그 자체로 멋진 것들을 많이 가져옵니다. 하지만 이것 역시 다음 시간에 이야기할 것입니다.

읽어 주셔서 감사합니다! 이 웹사이트는 수학 기호의 형식을 잘못 지정하여 일부 수학 텍스트가 제대로 표시되지 않았습니다. 동일한 내용의 비디오 파생물을 보고 싶다면 솔루션에 대한 내 채널 Fermion Physics에서 비디오 를 만들었습니다 (아주 빨리 말하긴 하지만). 비디오와 이 문서 사이를 전환하면 솔루션을 더 명확하게 만드는 데 도움이 됩니다. 다음 시간까지!