통계-선형 회귀

상관 관계 분석을 통해 변수 간의 관계 정도를 정한 후에는 관계의 본질을 파헤치는 것이 당연하다. 회귀 분석은 변수 간의 원인과 결과 관계를 결정하는 데 도움이됩니다. 그래픽 방법이나 대수적 방법을 사용하여 독립 변수의 값을 예측할 수 있으면 다른 변수 (종속 변수라고 함)의 값을 예측할 수 있습니다.

그래픽 방식

X 축에는 독립 변수, Y 축에는 종속 변수가있는 분산 형 다이어그램을 그리는 작업이 포함됩니다. 그 후 대부분의 분포를 통과하는 방식으로 선이 그려지며 나머지 점은 선의 양쪽에 거의 고르게 분포됩니다.

회귀선은 데이터의 일반적인 움직임을 요약하는 최적 선이라고합니다. 다른 변수의 평균값에 해당하는 한 변수의 최상의 평균값을 보여줍니다. 회귀선은 종속 변수의 예측 값과 관찰 된 값 간의 편차 제곱의 합을 최소화하는 직선이라는 기준을 기반으로합니다.

대수적 방법

대수적 방법은 X에서 Y와 Y에서 X의 두 가지 회귀 방정식을 개발합니다.

X에 대한 Y의 회귀 방정식

$ {Y = a + bX} $

어디-

$ {Y} $ = 종속 변수
$ {X} $ = 독립 변수
$ {a} $ = Y 절편을 보여주는 상수
$ {b} $ = 선의 기울기를 나타내는 상수

a와 b의 값은 다음 정규 방정식으로 구합니다.

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2} $

어디-

$ {N} $ = 관찰 횟수

Y에 대한 X의 회귀 방정식

$ {X = a + bY} $

어디-

$ {X} $ = 종속 변수
$ {Y} $ = 독립 변수
$ {a} $ = Y 절편을 보여주는 상수
$ {b} $ = 선의 기울기를 나타내는 상수

a와 b의 값은 다음 정규 방정식으로 구합니다.

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2} $

어디-

$ {N} $ = 관찰 횟수

예

Problem Statement:

한 연구원은 아버지와 아들의 체중 경향 사이에 상관 관계가 있음을 발견했습니다. 그는 이제 주어진 데이터에서 두 변수에 대한 회귀 방정식을 개발하는 데 관심이 있습니다.

아버지의 무게 (kg)	69	63	66	64	67	64	70	66	68	67	65	71
아들의 무게 (kg)	70	65	68	65	69	66	68	65	71	67	64	72

나타나게 하다

X에 대한 Y의 회귀 방정식.
Y에 대한 회귀 방정식.

Solution:

$ {X} $	$ {X ^ 2} $	$ {Y} $	$ {Y ^ 2} $	$ {XY} $
69	4761	70	4900	4830
63	3969	65	4225	4095
66	4356	68	4624	4488
64	4096	65	4225	4160
67	4489	69	4761	4623
64	4096	66	4356	4224
70	4900	68	4624	4760
66	4356	65	4225	4290
68	4624	71	5041	4828
67	4489	67	4489	4489
65	4225	64	4096	4160
71	5041	72	5184	5112
$ {\ sum X = 800} $	$ {\ sum X ^ 2 = 53,402} $	$ {\ sum Y = 810} $	$ {\ sum Y ^ 2 = 54,750} $	$ {\ sum XY = 54,059} $

X에 대한 Y의 회귀 방정식

Y = a + bX

여기서, a와 b는 정규 방정식으로 구합니다.

$ {\ sum Y = Na + b \ sum X \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum X + b \ sum X ^ 2 \\ [7pt] 여기서 \ \ sum Y = 810, \ sum X = 800 , \ sum X ^ 2 = 53,402 \\ [7pt], \ sum XY = 54, 049, N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 810 = 12a + 800b ... (i)

$ {\ Rightarrow} $ 54049 = 800a + 53402 b ... (ii)

방정식 (i)에 800을 곱하고 방정식 (ii)에 12를 곱하면 다음과 같이됩니다.

96000 a + 640000 b = 648000 ... (iii)

96000 a + 640824 b = 648588 ... (iv)

(iii)에서 방정식 (iv) 빼기

-824b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = -.0713

eq에서 b의 값을 대체합니다. (나는)

810 = 12a + 800 (-0.713)

810 = 12a + 570.4

12a = 239.6

$ {\ Rightarrow} $ a = 19.96

따라서 X의 방정식 Y는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$ {Y = 19.96-0.713X} $

Y에 대한 X의 회귀 방정식

X = a + bY

여기서, a와 b는 정규 방정식으로 구합니다.

$ {\ sum X = Na + b \ sum Y \\ [7pt] \ sum XY = a \ sum Y + b \ sum Y ^ 2 \\ [7pt] 여기서 \ \ sum Y = 810, \ sum Y ^ 2 = 54,750 \\ [7pt], \ sum XY = 54, 049, N = 12} $

$ {\ Rightarrow} $ 800 = 12a + 810a + 810b ... (V)

$ {\ Rightarrow} $ 54,049 = 810a + 54, 750 ... (vi)

eq (v)에 810을 곱하고 eq (vi)에 12를 곱하면

9720 a + 656100 b = 648000 ... (vii)

9720 a + 65700 b = 648588 ... (viii)

eq vii에서 eq viii 빼기

900b = -588

$ {\ Rightarrow} $ b = 0.653

방정식 (v)에서 b의 값을 대입

800 = 12a + 810 (0.653)

12a = 271.07

$ {\ Rightarrow} $ a = 22.58