통계-확률 곱셈 정리

독립 이벤트

이 정리는 독립적 인 두 사건이 동시에 발생할 확률은 개별 확률의 곱으로 주어집니다.

${P(A\ and\ B) = P(A) \times P(B) \\[7pt] P (AB) = P(A) \times P(B)}$

정리는 세 개 이상의 독립 사건으로 확장 할 수 있습니다.

${P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C) P (A,B\ and\ C) = P(A) \times P(B) \times P(C) }$

예

Problem Statement:

대학은 B.Com., MBA, Ph.D의 강사를 임명해야하며, 그 확률은 다음과 같습니다. ${\frac{1}{20}}$, ${\frac{1}{25}}$, 및 ${\frac{1}{40}}$각기. 그러한 사람을 대학에서 임명 할 확률을 찾으십시오.

Solution:

개인이 B.Com.P (A)가 될 확률 =${\frac{1}{20}}$

사람이 MBA가 될 확률 P (B) = ${\frac{1}{25}}$

Ph.DP (C)가 될 확률 =${\frac{1}{40}}$

독립 사건에 곱셈 정리 사용

${ P (A,B\ and\ C) = P(A) \times P(B) \times P(C) \\[7pt] = \frac{1}{20} \times \frac{1}{25} \times \frac{1}{40} \\[7pt] = .05 \times .04 \times .025 \\[7pt] = .00005 }$

종속 이벤트 (조건부 확률)의 경우

앞서 정의한 바와 같이, 종속 이벤트는 한 이벤트의 발생 또는 비 발생이 다음 이벤트의 결과에 영향을주는 이벤트입니다. 그러한 사건의 경우 앞서 언급 한 곱셈 정리가 적용되지 않습니다. 그러한 사건과 관련된 확률을 조건부 확률이라고하며 다음과 같이 주어진다.

P (A / B) = ${\frac{P(AB)}{P(B)}}$ 또는 ${\frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$

이벤트 B가 이미 발생했을 때 이벤트 A의 발생 확률로 P (A / B)를 읽습니다.

마찬가지로 A가 주어진 B의 조건부 확률은

P (B / A) = ${\frac{P(AB)}{P(A)}}$ 또는 ${\frac{P(A \cap B)}{P(A)}}$

예

Problem Statement:

동전을 2 번 던졌습니다. 던지기는 하나의 머리와 하나의 꼬리를 가져 왔습니다. 첫 번째 던지기에서 꼬리가 나올 확률은 얼마입니까?

Solution:

두 번 던진 동전의 샘플 공간은 S = {HH, HT, TH, TT}로 주어집니다.

이벤트 A를 첫 번째 던지기로 두어 꼬리를 만듭니다.

사건 B는 꼬리 하나와 머리 하나가 발생했다는 것입니다.

${ P(A) = \frac{P(TH,TT)}{P(HH,HT,TH,TT)} = \frac{2}{4} =\frac {1}{2} \\[7pt] P(A \cap B) = \frac{P(TH)}{P(HH,HT,TH,TT)} =\frac{1}{4} \\[7pt] So\ P (A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\[7pt] = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} \\[7pt] = \frac{1}{2} = 0.5 }$