Oblicz wartość $f(x)$

Question

$$x^2+\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt=f(x)$$

​
Mój nauczyciel kazał mi rozróżnić tę funkcję, a następnie przestawić ją na całkowanie.

Najpierw podstawiłem $x-t=p$;$-dp=dt$. W związku z tym,$$x^2+e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)$$Tak więc, kiedy zastosowałem regułę Leibniza, czy w zmiennej całkującej mogę umieścić x zamiast p? W tym momencie utknąłem i nie mogłem wymyślić, co robić. Czy ktoś może mi pomóc?

Answer 1

Dany $$x^2+\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt=f(x)$$ następnie przez różnicowanie: \begin{align} 2 \, x + e^{-x} \, f(0) + \int_{0}^{x} e^{-t} \, f'(x-t) \, dt &= f'(x) \\ 2 \, x + f(0) \, e^{-x} + [- e^{-t} \, f(x-t) ]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} e^{-t} \, f(x-t) \, dt &= f'(x) \\ 2 \, x + f(x) - [ f(x) - x^2 ] &= f'(x) \\ 2 \, x + x^2 &= f'(x) \end{align} i prowadzi do $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3} + c_{0}.$$ Teraz, kiedy $x=0$ oryginalne równanie daje $f(0) = 0$ i prowadzi do $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3}. $$

Dla porównania można użyć splotu całek z transformatą Laplace'a. W tym widoku ustalono, że:\begin{align} \mathcal{L}\{ f(t) \} &= \int_{0}^{\infty} e^{-st} \, f(t) \, dt \\ \frac{2}{s^2} + \mathcal{L}\{e^{-x}\} \, f(s) &= f(s) \\ \frac{2}{s^2} + \frac{f(s)}{s+1} &= f(s) \\ f(s) &= \frac{2(s+1)}{s^4} = \frac{2}{s^3} + \frac{2}{s^4} \end{align} a odwrotna transformacja daje $$ f(x) = x^2 + \frac{x^3}{3}. $$

Obie metody kończą się tym samym rozwiązaniem.

Answer 2

Wskazówka:

Przed różnicowaniem przekształć

$$\int_0^x e^{-t}f(x-t)\,dt=\int_0^x e^{t-x}f(t)\,dt=e^{-x}\int_0^x e^{t}f(t)\,dt$$ i użyj Podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego.

Answer 3

Odkryłem inną metodę;

$$x^2+e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)$$

Stosując iloczynową regułę zróżnicowania,

$$f(x).g(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)$$

Otrzymujemy,

$$2x-e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp+f(x)=f'(x)$$

Od, $$e^{-x}.\int_{0}^{x}e^{p}f(p)dp=f(x)-x^{2}$$

Dlatego po podstawieniu otrzymujemy

$$2x-(f(x)-x^2)+f(x)=f'(x)$$ $$f'(x)=2x+x^2$$

W związku z tym, $$f(x)=x^{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

I tu, $c=0$ tak jak $f(0)=0$;