$p$-adic reprezentacja

Question

Czytam o $p$-adic reprezentacja. Wydaje się, że nie rozumiem, jak$p$-adic reprezentacja jest swego rodzaju lustrzanym odbiciem bazy $p$ reprezentacja liczb rzeczywistych.

Dany $\alpha \in \mathbb Q_{p}$ z

$$ \alpha = \sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,$$

możemy pisać $\alpha$ tak jak $$ \alpha = \cdots a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2} \cdots a_{-r}.$$

Wydaje się, że nie rozumiem, jak możemy dodawać i mnożyć $p$-liczby adyczne. Czy mógłby ktoś wyjaśnić na konkretnym przykładzie? Możliwie ($\cdots 555.5)^2$ w $\mathbb Q_{7} $ skoro o tym czytałem i wcale nie rozumiem?

Answer 1

Moja rada jest następująca: przygotuj sobie tabelkę dodawania i tabliczkę mnożenia dla liczb całkowitych $0,1,\dots,6,7$, które są notowane $0,1,\dots,6,10$w notacji septariuszowej. Następnie postępuj z mnożeniem dokładnie w taki sam sposób, jak (mam nadzieję, że) uczyłeś się w szkole podstawowej, z przenoszeniem i tak dalej. Od tego czasu zobaczysz wzór$\dots555;5$ jest liczbą wymierną $\frac{-5}{42}$, ale zajmuje trochę czasu, zanim się pojawi. W trzydziestu miejscach twój kwadrat z powyższych okazuje się być$$\dots2065432065432065432065432065;44 $$

Chociaż zrobiłem wiele $p$-adyczne obliczenia tego typu ręcznie, zapewniam, że do tych obliczeń skorzystałem z pakietu, który obsługuje $p$-liczby adyczne.

Answer 2

$\Bbb{Z}_7$ i $\Bbb{Q}_7$ są zakończeniem $\Bbb{Z}$ i $\Bbb{Q}$ dla wartości bezwzględnej $|p^k c/d|_7= p^{-k},p\nmid c,p\nmid d$. Wtedy działa tak samo jak w przypadku$\Bbb{R}$ zakończenie $\Bbb{Q}$ dla $|.|_\infty$. Dokładnie przybliż swoją serię$\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k$ przez $\sum_{k=-r}^n a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^n b_{k}p^k$, pomnóż jako standardowe liczby wymierne, otrzymasz przybliżenie $(\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k)(\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k)$