Widmo pliku $\ell^2$-operator

Question

Muszę znaleźć widmo $\sigma(T)$ następnego operatora $\ell^2$ (sekwencje rzeczywiste):

$$T(x)=(x_1,x_2,0,0,x_4,x_5,\dots) \;\; \forall x=(x_1,x_2,\dots) \in \ell^2$$

ale mam pewne problemy (wczoraj wysłałem podobne pytanie i wskazano, że operator był kompaktowy, ale tak nie jest)

---

Brać $y \in \ell^2$ i przypuszczam $(T-\lambda)x=y$, mamy następujące relacje:

$$(1-\lambda)x_1=y_1 \\ (1-\lambda)x_2=y_2\\ -\lambda x_3=y_3\\ -\lambda x_4=y_4\\ x_4-\lambda x_5=y_5\\ x_5-\lambda x_6=y_6 \\ \vdots$$

z nich otrzymujemy

$$x_1=(1-\lambda)^{-1}y_1\\ x_2=(1-\lambda)^{-1} y_2\\ x_3=-\lambda^{-1} y_3\\ x_4=-\lambda^{-1} y_4\\ x_5=-\left(\lambda^{-1}y_5+\lambda^{-2} y_4 \right)\\ x_6=-\left(\lambda^{-1} y_6+\lambda^{-2}y_5+\lambda^{-3} y_4 \right)\\ \vdots$$

teraz nie wiem, jak określić, czy nie $x \in \ell^2$.

Answer 1

EDYCJA: To nie dotyczy pytania. Zobacz poniżej.

Oznacz operator jako $P$. To powinno być jasne$P$ jest projekcją; $P^2=P^*=P$. W przypadku każdej projekcji widmo jest podzbiorem$\{0,1\}$, z co najwyżej jednym wyjątkiem. We wszystkich innych przypadkach możemy zdefiniować jawną odwrotność:$(P-\lambda I)^{-1}=\frac{I}{-\lambda}+\frac{P}{\lambda-\lambda^2}$. Można to zweryfikować za pomocą następujących obliczeń:\begin{align*} (P-\lambda I)\frac{1}{-\lambda}(I+\frac{P}{\lambda-1})&=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I+\frac{P^2}{\lambda -1}-\frac{\lambda P}{\lambda -1}]\\ &=\frac{1}{-\lambda}[P-\lambda I-P]\\ &=I. \end{align*} Fakt, że jest to odwrotność dwustronna, wynika z całego równania, które jedynie odwraca kolejność mnożenia.

EDYTUJ TUTAJ: Operator $T$ powyżej trwa $e_1\mapsto e_1,e_2\mapsto e_2,e_3\mapsto e_3$, a następnie przesuwa się do przodu o kolejne indeksy. To znaczy że$T$ ma rozkład jako $I_3\oplus R$, gdzie $I_3$ jest $3\times 3$ operator tożsamości i $R$jest właściwym operatorem zmiany. Widmo bezpośredniej sumy nieskończenie wielu operatorów jest sumą ich widm. Widmo operatora tożsamości to$1$a widmem prawego operatora zmiany jest zamknięty dysk jednostkowy $\{z\in\mathbb C\,|\,|z|\le 1\}$. Więc widmo$T$ jest zamkniętym dyskiem jednostkowym.