Constante de Feigenbaum

Meu último artigo foi uma breve introdução à teoria do caos, onde escrevi principalmente sobre o efeito borboleta , ou seja, o conceito de onde a teoria do caos começou. Eu já havia discutido sobre o gráfico populacional em um de meus artigos . Descrevi o gráfico como um fractal chamado “a figueira”. Eu também mencionei que os fractais faziam parte da teoria do caos. Então, como o caos finalmente forma esse gráfico?

Existe uma constante realmente famosa que é mencionada junto com outras constantes matemáticas famosas, como π, sqrt{2}, e, i, etc. Eu, pessoalmente, nunca tinha ouvido falar dela antes, até recentemente. Esta constante é chamada de “ Constante de Feigenbaum ”, cujo valor é δ = 4,6692016……., o que significa que é irracional como π ou e. Existem duas constantes de Feigenbaum. O outro chamado é simbolizado como α, mas essa é outra história da qual não falarei neste artigo.

Por volta da década de 1970, um cientista chamado Robert May escreveu um artigo no qual havia escrito uma equação que modelava o crescimento populacional. A equação é a seguinte:

Neste, x_(n+1) é a população do próximo ano, x_n é a população atual e λ é a fertilidade. Esta equação é um mapa logístico ou apenas uma função para o crescimento populacional. Então, basicamente, usando essa equação, podemos prever qual será a população de uma comunidade no próximo ano. Eu disse que λ é como a fertilidade da população. Então, se o valor é alto, há criação alta, mas, se for baixo, há criação baixa. O valor de λ está entre 0 e 1, onde 0 significa sem reprodução e 1 significa reprodução completa.

Agora, os cientistas interessados ​​no crescimento populacional repetiram este gráfico para observar a variação da população no futuro. No RHS ou lado direito da equação dada, x_n é a vida, enquanto (1 — x_n) é a morte.

OK. Vamos agora tomar qualquer valor para x_1. Deixe o it ser 0,5, ou seja, deixe a população ser metade. Estou tomando o valor de λ como 2,3.

Então, se calcularmos a população dos anos seguintes usando a equação, ou seja, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10, x_11, será

0,575, 0,5621, 0,5661, 0,5649, 0,5653, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, 0,5652, respectivamente.

Você pode observar que o valor se tornou constante. Em outras palavras, o crescimento populacional se estabilizou. Isso é chamado de ponto fixo na iteração.

O que acontece se mudarmos λ. Vamos escolher um λ muito pequeno, algo entre 0 e 1. Digamos 0,65. Intuitivamente, é óbvio o que acontecerá se a fertilidade for muito baixa. Mas, ainda vamos calcular retendo x_1 como 0,5. Conforme calculei x_2, x_3, x_4….. os seguintes são os valores que calculei.

0,1625, 0,0885, 0,0524, 0,0323, 0,0203, 0,0129, 0,0083, 0,0053, 0,0035, 0,0022, 0,0015, 0,0009, 0,0006, 0,0004, 0,0003, 0,0002, 0,0002

A população está morta.

O que aconteceria se eu considerasse um valor de fertilidade mais alto, digamos, 3,2?

Calculei novamente com x_1 como 0,5, depois de muitas iterações, notei que os valores estavam acontecendo como,

0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304, 0,79946, 0,51304,….. A população é estável, mas estável em 2 valores.

Agora vou pegar um valor cuidadosamente escolhido de λ, que é 3,5.

Com x_1 como 0,5, novamente passando pelos cálculos, notei que os valores, após muitas iterações, continuavam como,

0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,38281, 0,82694, 0,50088, 0,87499, 0,4080821, 6, 4080821

Desta vez, o valor está estável em 4 valores.

Agora vamos fazer gráficos de todos os casos que vimos.

a) Quando a população se tornou estável

b) Quando a população morreu

c) Quando a população saltou entre dois valores

d) Quando a população saltou entre quatro valores

Agora, com os resultados que temos, traçaremos um gráfico com λ no eixo x e a população no eixo y. O seguinte é o que você obteria:

Quando λ = 3,2 obtivemos dois valores iterativos. Assim, você notaria que o gráfico se bifurca ali. 'Bifurcar' é apenas uma maneira sofisticada de dizer que o grafo se bifurca. Da mesma forma, por volta de 3,5, ele se bifurca novamente em quatro. Isso continua, mas em um ritmo muito mais rápido. O gráfico se bifurcaria ainda mais rápido, agora, em mudanças muito pequenas do próprio λ. Depois de um tempo, o gráfico mostra algo extraordinário à medida que avançamos para a direita. Mas, antes disso, deixe-me definir com o que comecei este artigo, a constante de Feigenbaum.

Conforme mostrado no diagrama acima, se eu pegar quaisquer dois comprimentos consecutivos de cada bifurcação do gráfico e encontrar sua proporção, você receberá um valor irracional constante, 4,6692016…….

Esta é a constante de Feigenbaum. Está dizendo que o comprimento de uma bifurcação é 4,6692016……. vezes menor que o anterior. Feigenbaum descobriu que, se você pegar qualquer equação quadrática como a equação da população, poderá criar um gráfico de duplicação de período apenas mexendo nos parâmetros. E, tomando a razão entre os comprimentos de duas bifurcações consecutivas, você obteria o mesmo número para qualquer equação quadrática.

O seguinte é o destino do gráfico após cerca de λ = 3,59.

O gráfico fica maluco, ou melhor, caótico. Embora este gráfico tenha sido descoberto antes que a teoria do caos fosse conhecida. Esta constante e gráfico tem sido muito utilizado durante o seu estudo. O caos é sensível às condições iniciais que produzem mudanças massivas, como explicado pelo efeito borboleta. Da mesma forma, aqui, uma mudança muito pequena em λ pode causar mudanças malucas no gráfico. Junto com o efeito borboleta, este foi o começo da teoria do caos.