2-norm ของเมทริกซ์ถูกล้อมรอบด้วยค่าสูงสุดของ 1-norm และ Infinity-norm หรือไม่?

Jan 01 2021

ฉันกำลังใช้อัลกอริทึมใน "การประมาณลอการิทึมของเมทริกซ์เพื่อระบุความถูกต้อง" โดย Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham, Charles S. Kenny, Alan J. Laub, 2001

ในอัลกอริทึมนี้ฉันจะหลีกเลี่ยงการคำนวณ 2-Norm ของเมทริกซ์กำลังสองที่มีมูลค่าจริง $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. การทดลองเชิงตัวเลขแนะนำให้ฉันทราบว่าขอบเขตบนต่อไปนี้ถือ

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

มีใครยืนยันได้หรือไม่ว่าความไม่เท่าเทียมกันนี้มีอยู่เสมอหรือไม่? ขอขอบคุณและสวัสดีปีใหม่!

ผู้ใช้คนหนึ่งตั้งข้อสังเกตว่า Cauchy-Schwarz มีความหมายเป็นนัยว่า

$\|A\|_2 \leq \sqrt n \min ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

ซึ่งในบางกรณีช่วยเพิ่มขอบเขต แต่ก็ไม่เสมอไป ดังนั้นฉันหวังว่าคำถามเริ่มต้นของฉันยังคงมีความเกี่ยวข้อง ตัวอย่างการโต้แย้งของอสมการที่แนะนำจะได้รับการชื่นชมเช่นกันหากมีอยู่

คำตอบ

datahaki Jan 01 2021 at 08:43

แท้จริง:

$\|A\|_2 \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

ตามมาจาก

$\|A\|_2 \leq \sqrt { \|A\|_1 \|A\|_\infty } \leq \max ( \|A\|_1, \|A\|_\infty )$

ซึ่ง - อ้างอิงจากWikipedia - เป็นกรณีพิเศษของความไม่เท่าเทียมกันของHölder