แบบมาตรฐานของ $\sf ZFC$ มีตำแหน่งทั้งหมดโดยไม่ต้องมีสกรรมกริยา
โดยแบบจำลองมาตรฐานของ ZFC ฉันหมายถึงแบบจำลองของ ZFC ที่สามารถเป็นเซตหรือคลาสที่เหมาะสมและความสัมพันธ์ขององค์ประกอบคือความสัมพันธ์ขององค์ประกอบที่แท้จริง สกรรมกริยารูปแบบของ ZFC เป็นรูปแบบมาตรฐานของ ZFC ที่ยังเป็นระดับที่สกรรมกริยา ด้วยคำศัพท์การยุบตัวของ Mostowski โมเดลมาตรฐานทุกตัวของ ZFC คือ isomorphic ผ่านทาง isomorphism ที่ไม่เหมือนใครไปจนถึงแบบจำลองที่ไม่ซ้ำกันของ ZFC คำถามของฉันคือเราสามารถ "ยกเลิกการยุบ" แบบจำลองของ ZFC ให้เป็นแบบจำลองมาตรฐานของ ZFC ได้หรือไม่ ตัวอย่างเช่นมีแบบจำลองมาตรฐาน ZFC isomorphic ที่ไม่ใช่แบบจำลองมาตรฐานขั้นต่ำหรือไม่$L$เหรอ? และยังมีแบบจำลองมาตรฐานที่ไม่เปลี่ยนผ่านของ ZFC ที่มีลำดับทั้งหมดที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกับโมเดลภายในที่น้อยที่สุด$L$เหรอ?
แก้ไข: เมื่อได้รับความคิดเห็นที่เป็นประโยชน์ (คำตอบสำหรับสองคำถามแรกคือใช่) คำถามเดียวที่ฉันเหลืออยู่คือคำถามสุดท้าย: มี ZFC แบบจำลองมาตรฐานที่ไม่ใช่สกรรมกริยาที่มีลำดับทั้งหมดที่เป็น isomorphic กับด้านในน้อยที่สุดหรือไม่ แบบ $L$เหรอ? ถ้าไม่เช่นนั้น$L$ไม่ได้เป็นเพียงโมเดลด้านในที่เรียบง่ายเท่านั้น แต่ยังเป็นโมเดลมาตรฐานขั้นต่ำที่มีลำดับทั้งหมด โดยทั่วไปแล้วมี ZFC แบบจำลองมาตรฐานที่ไม่เปลี่ยนผ่านที่มีลำดับทั้งหมดหรือไม่?
คำตอบ
ฉันได้ลบคำตอบก่อนหน้าของฉันเนื่องจากมันผิดตามที่ Rodrigo Freire ชี้ให้เห็นในความคิดเห็น
ในความเป็นจริงมันเป็นไปได้ที่จะมีแบบจำลองที่ไม่ใช่สกรรมกริยาซึ่งลำดับที่เป็นส่วนเริ่มต้นของลำดับ บอกว่า$M$ เป็นแบบจำลองสกรรมกริยาเช่นนั้น $M\neq V_\alpha$ สำหรับใด ๆ $\alpha\in\rm Ord\cup\{Ord\}$ (ที่ไหน $V_{\rm Ord}$เป็นเพียงจักรวาลทั้งหมด) แล้วมีขนาดเล็กที่สุด$\alpha$ ดังกล่าว $\alpha\in M$ และ $\mathcal P(\alpha)^M\neq\mathcal P(\alpha)$.
กำหนด $N$ เป็นแบบจำลองที่ได้จากการแทนที่แบบวนซ้ำ $\mathcal P(\alpha)^M$ โดย $\mathcal P(\alpha)$หรือแม้แต่เพิ่มชุดใหม่ในคอลเล็กชันนี้ แล้ว$N$ เป็นแบบจำลองมาตรฐานลำดับของมันเป็นส่วนเริ่มต้นของลำดับ แต่ไม่ใช่สกรรมกริยา
ถ้าเราใช้ $M=L$ และ $V\neq L$จากนั้นเราสามารถรับแบบจำลองของ $V=L$ ซึ่งไม่ใช่ $L$.
Asaf Karagila ได้ตอบคำถามนี้แล้ว แต่ฉันคิดเกี่ยวกับผลลัพธ์บางส่วนสำหรับการย่อส่วนของ $L$ ตามทิศทางของคำตอบก่อนหน้าของเขาตามที่ถามโดย Jesse Elliot ในย่อหน้าสุดท้ายของเขา
ก่อนอื่นขอแก้ตัวที่บอกว่าฉันคิดว่าทฤษฎีเซตไม่ได้ใช้แบบจำลองมาตรฐาน (ในความหมายของคำถามนี้) มากนักเนื่องจากเป็นแบบไอโซมอร์ฟิกกับแบบจำลองสกรรมกริยา ดังนั้นเราจึงไม่คุ้นเคยกับพวกเขามากนัก อย่างไรก็ตามในความเป็นจริงแล้วการ "เลิกยุบ" แบบจำลองสกรรมกริยานั้นเป็นเรื่องง่าย$M$: รับองค์ประกอบ $a\in M$ และแทนที่ทุกที่โดยสกรรมกริยา $a\cup \left\{a\right\}$. ถ้า$a$ ไม่ใช่ลำดับจากนั้นแบบจำลองมาตรฐานที่ได้จะแบ่งลำดับของ $M$.
ตอนนี้ในทิศทางที่เป็นบวกมากขึ้นให้เราตรวจสอบผลลัพธ์ขั้นต่ำบางส่วนสำหรับ $L$:
-ปล่อย $M\subseteq L$เป็นแบบจำลองมาตรฐานเพื่อให้ลำดับของมันเป็นลำดับจริง แล้ว$M=L$ iff คำสั่งที่สร้างได้ $Od$ (ดู Shoenfield, ML, หน้า 272) เป็นค่าสัมบูรณ์สำหรับ $L^M$.
หลักฐาน:ก่อนอื่นให้สังเกตว่า$L^M=\left\{x\in M : (x\in L)^M\right\}$เป็นแบบจำลองมาตรฐานที่มีลำดับเป็นลำดับจริง ถ้า$L^M$ เป็นสกรรมกริยาแล้วก็จะรวม $L$ดังนั้น $M$ จะเท่ากับ $L$. ดังนั้นให้เราสมมติว่า$L^M$ ไม่ใช่สกรรมกริยา
ปล่อย $K$ เป็นการล่มสลายของ $L^M$. ภาพของ$K$ เป็นแบบจำลองสกรรมกริยาของ $ZF$ มีตำแหน่งทั้งหมดและมีอยู่ใน $L$ดังนั้นจึงเป็นเช่นนั้น $L$. ปล่อย$x$ เป็นตัวอย่างที่น้อยที่สุดสำหรับการเปลี่ยนแปลงของ $L^M$. แล้ว$K(x)\neq x$ดังนั้น $Od(K(x))\neq Od(x)$ (จำได้ว่า $M\subseteq L$ดังนั้น $Od$ ถูกกำหนดไว้สำหรับองค์ประกอบทั้งหมดของ $M$และเป็นแบบฉีด) ตั้งแต่$K$ คือ isomorphism จาก $L^M$ ถึง $L$, $K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))$. จากสมมติฐานที่แน่นอน$Od^{L^M}(x)=Od(x)$.
ดังนั้น,
$K(Od(x))=K(Od^{L^M}(x))=Od(K(x))\neq Od(x)$,
ดังนั้น $Od(x)$ เป็นลำดับที่เคลื่อนย้ายโดย $K$. นี่คือความขัดแย้งกับสมมติฐานที่ลำดับของ$M$ ตรงตามลำดับ