บนสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต
อ้างอิงจาก [wikipedia] [1]
ปล่อย $T$ เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตซึ่งทำหน้าที่บนพื้นที่ Banach $X$ เหนือเขตข้อมูลสเกลาร์ที่ซับซ้อน $\mathbb{C}$ และ $I$ เป็นตัวดำเนินการระบุตัวตนบน $X$. สเปกตรัมของ$T$ คือชุดของทั้งหมด $\lambda \in \mathbb{C}$ ซึ่งผู้ดำเนินการ $T-\lambda I$ ไม่มีอินเวอร์สที่เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต
คำจำกัดความนี้ดูเหมือนจะไม่ชัดเจนสำหรับฉันเนื่องจากสิ่งต่อไปนี้ เพราะ$X$ คือ Banach ถ้า $T$มีความผกผัน [ผกผันนี้จะต้องมีขอบเขต] [2] แต่ (ในความคิดของฉัน) คำจำกัดความบนวิกิพีเดียอาจทำให้เข้าใจผิดเพราะใคร ๆ ก็คิดว่ามันอาจเกิดขึ้นได้$T-\lambda I$ กลับไม่ได้ แต่ไม่มีขอบเขตซึ่งในกรณีนี้ $\lambda$ ดูเหมือนว่าจะเป็นองค์ประกอบของสเปกตรัมของ $T$ตามคำจำกัดความข้างต้น ฉันคิดว่าคำจำกัดความที่ดีกว่าของสเปกตรัมในกรณีนี้น่าจะเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดเช่น$T-\lambda I$ ไม่สามารถกลับด้านได้
คำถาม:ถ้า$X$ถือว่าเป็นบรรทัดฐานแทน Banach คำจำกัดความที่ดีที่สุดของสเปกตรัมคืออะไร? มีความต้องการอย่างใดอย่างหนึ่ง$T-\lambda I$จะไม่กลับด้านหรือไม่กลับด้านและมีขอบเขต?
[1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Spectrum_(functional_analysis)#:~:text=%2C%20for%20all%20) .-, Basic% 20properties, subset% 20of% 20the% 20complex% 20plane. & text = would% 20be% 20defined% 20everywhere% 20on% 20the% 20complex% 20plane% 20and% 20bounded. & text = The% 20boundedness% 20of% 20the% 20spectrum ขอบเขต% 20by% 20% 7C% 7CT% 7C% 7C [2]: ผกผันของตัวดำเนินการที่มีขอบเขต?
คำตอบ
ถ้า $T-\lambda I$ เป็นแบบฉีดแล้ว $T-\lambda I$ จะมีการผกผัน $\mathcal{R}(T-\lambda I)$แต่ไม่ได้รับประกันว่า $(T-\lambda I)^{-1} : \mathcal{R}(T-\lambda I)\subset X\rightarrow X$มีขอบเขต ตัวอย่างเช่นพิจารณา$T : L^2[0,1]\rightarrow L^2[0,1]$ ที่กำหนดโดย $$ Tf = \int_0^x f(t)dt. $$ $T$มีขอบเขต ถึงแม้จะผกผัน$T^{-1}g = g'$ ถูกปิดซึ่งกำหนดไว้เฉพาะในฟังก์ชันเท่านั้น $g \in L^2[0,1]$ นั้นคือ
$\;\;\;$(i) อย่างต่อเนื่อง
$\;\;\;$(ii) หายไปเมื่อ $0$และ
$\;\;\;$(iii) มีอนุพันธ์กำลังสองบน $[0,1]$.
นอกจากนี้ $T^{-1}$ไม่มีขอบเขตบนโดเมน ดังนั้นจึงไม่สามารถขยายได้$T^{-1}$ในลักษณะที่จะเป็นไปอย่างต่อเนื่อง ถ้าช่วงของ$T$ ทั้งหมด $X$เพื่อให้ผกผันของ $T$ ถูกกำหนดไว้ทุกที่ $L^2[0,1]$ดังนั้นข้อโต้แย้งของคุณจะมีผลเพราะ $T$จะถูกกำหนดบนพื้นที่ Banach และจะมีกราฟปิด แต่นั่นไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นแม้ว่า$T^{-1}$ มีอยู่เนื่องจากไม่ได้เกิดขึ้นในกรณีนี้