บรรทัดฐานในอุดมคติในคำสั่งซื้อ
ปล่อย $\overline{T}$ เป็นแหวนของ Dedekind เช่นนั้น $\overline{T}/\overline{I}$ มีข้อ จำกัด สำหรับทุกอุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์ $\overline{I}$ ของ $\overline{T}$. ปล่อย$T$ เป็นส่วนย่อยของ $\overline{T}$ ที่มีวงแหวนเศษส่วนทั้งหมดเท่ากัน (เช่นคำสั่ง)
ปล่อย $I$ เป็นอุดมคติของ $T$ และปล่อยให้ $\overline{I} = I\overline{T}$. บรรทัดฐาน $N_T(I)$ ของ $I$ ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนเต็มของ $T/I$.
คำถาม:มีสูตรที่เกี่ยวข้อง$N_T(I)$ และ $N_{\overline{T}}(\overline{I})$เหรอ?
ตัวอย่างเช่นดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่ความคลาดเคลื่อนถูกวัดโดยกลุ่ม "tor" บางกลุ่ม
หมายเหตุ:
- ถ้า $I$ ก็เป็นโปรเจ็กต์แล้ว $N_T(I)$ และ $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ มีค่าเท่ากัน
- การแปลเป็นภาษาท้องถิ่นช่วยลดปัญหาในกรณีนี้เมื่อ $T$ เป็นของท้องถิ่น (และ $\overline{T}$ เป็นกึ่งท้องถิ่น) และทั้งสองอย่าง $I$ และตัวนำของ $T$ เป็นอุดมคติที่เหมาะสม
- (ขอบคุณ Luc Guyot) ถ้า $T$เป็นแหวนเบส ($\leftrightarrow$ แหวนกลางทุกวง $T \subset R \subset \overline{T}$ คือ Gorenstein $\leftrightarrow$ ทุกอุดมคติถูกสร้างขึ้นโดยสององค์ประกอบ) และ $T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$ตามด้วย [2 ข้อเสนอ 5.8] $I$เป็นโปรเจ็กต์ ก็เป็นไปตามนั้น$N_T(I)$ และ $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ มีค่าเท่ากัน (ตามคำพูดแรก)
- (คำพูดทั่วไปของคำพูดที่สาม) ถ้า $T$เป็นโดเมนอินทิกรัล Gorensteinและ$T = \{a \in \overline{T} : a I \subset I \}$แล้ว $I$เป็นโปรเจ็กต์ สิ่งนี้เกิดขึ้นจากการรวมทฤษฎีบท 6.2 (4) กับข้อเสนอ 7.2 จาก [1] ก็เป็นไปตามนั้น$N_T(I)$ และ $N_{\overline{T}}(\overline{I})$ มีค่าเท่ากัน (ตามคำพูดแรก)
[1] เอช. เบส, "ในความแพร่หลายของวงแหวน Gorenstein", 2506
[2] L. Levy และ R. Wiegand, "พฤติกรรมเหมือนแหวนของ Dedekind ที่มีอุดมการณ์ 2 แบบ", 1985
คำตอบ
ฉันจะเริ่มต้นด้วยคำพูดทั่วไปซึ่งจะแสดงโดยการคำนวณตามลำดับเขตข้อมูลเลขกำลังสองโดยพลการ
ถ้า $\overline{I}$ สัญญากับ $I$กล่าวคือถ้า $\overline{I} \cap R = I$จากนั้นรวม $R \rightarrow \overline{R}$ ทำให้เกิดการฉีด $R$-module homomorphism $R/I \rightarrow \overline{R}/\overline{I}$. ผลที่ตามมา,$N_R(I)$ หาร $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเรามี $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$. ถ้าเช่น$I$ เป็นอุดมคติที่สำคัญแล้ว $N_R(I)$ หาร $N_{\overline{R}}(\overline{I})$.
คำถามพื้นฐานที่ฉันไม่สามารถตอบได้คือ:
คำถาม. จริงอยู่เสมอว่า$N_R(I)$ หาร $N_{\overline{R}}(\overline{I})$หรืออย่างน้อยที่สุด $N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$เหรอ?
แก้ไข. คำตอบ OP มีหลักฐานว่า$N_R(I) \le N_{\overline{R}}(\overline{I})$ ถือเป็นจริงสำหรับทุกอุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $R$.
ฉันจะไม่ตอบคำถามข้างต้น แต่ฉันจะแนะนำเงื่อนไขใน$R$ ตามที่ $N_R(I)$ หาร $N_{\overline{R}}(\overline{I})$ สำหรับทุกอุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์ $I$ ของ $R$.
โจทย์ ถ้าไม่ใช่ศูนย์ในอุดมคติ$I$ ของ $R$ มีการฉายภาพเหนือวงแหวนของตัวคูณ $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \overline{R} \, \vert \, rI \subseteq I\}$แล้วเราก็มี $$ N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert. $$
หมายเหตุด้านข้าง ที่$\varrho(I) = \{ r \in K \, \vert \, rI \subseteq I\}$ ที่ไหน $K$ หมายถึงเขตเศษส่วนของ $R$, ตั้งแต่ $R$ คือ Noetherian
แทรก 1 (การเรียกร้องของ OP) ถ้า$I$ เป็นอุดมคติแบบกลับหัวของ $R$ แล้ว $N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I)$.
หลักฐาน. ขั้นแรกให้พิสูจน์คำสั่งสำหรับหลักการที่ไม่ใช่ศูนย์ในอุดมคติ$I$. จากนั้นทำการย่อยสลาย$R$- โมดูลความยาว จำกัด $\overline{R}/\overline{I}$ เป็นผลรวมโดยตรงของการแปลตามอุดมคติสูงสุดของ $R$[4, ทฤษฎีบท 2.13] ทำเช่นเดียวกันสำหรับ$R/I$ และเปรียบเทียบความสำคัญของ summands
หลักฐานของข้อเสนอ โดยเลม 1 เรามี$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_{\varrho(I)}(I)$. ดังนั้น$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = [\varrho(I) : R][R: I] = \vert \varrho(I)/R\vert N_R(I)$.
โปรดทราบว่าถ้า $R$ คือคำสั่งที่มีอุดมคติที่สร้างขึ้นสองแบบ (เช่นคำสั่งในสนามกำลังสองหรือคำสั่งที่มีการเลือกปฏิบัติโดยไม่มีกำลังสี่ [2, ทฤษฎีบท 3.6]) จากนั้นทุกอุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $R$ตอบสนองสมมติฐานของข้อเสนอดังกล่าวข้างต้นให้ดูเช่น [1], [2] และทฤษฎีบท 4.1 ผลกระทบ 4.3 และ 4.4 ของบันทึกคี ธ คอนราด OP กล่าวถึงผลลัพธ์ที่คล้ายกันในคำพูดของเขาและคำตอบของเขา
ปล่อย $m$เป็นจำนวนเต็มเหตุผลที่ไม่มีกำลังสอง เราตั้ง$K \Doteq \mathbb{Q}(\sqrt{m})$ และแสดงโดย $\mathcal{O}(K)$ วงแหวนของจำนวนเต็มของสนามกำลังสอง $K$.
การอ้างสิทธิ์หลวม ได้รับคำสั่งซื้อ$R$ ของ $K$ และเป็นอุดมคติ $I \subseteq R$เราจะคำนวณ $N_{\mathcal{O}(K)}(I\mathcal{O}(K))$ เป็นหน้าที่ของ $N_R(I)$ และของรูปแบบกำลังสองไบนารีที่เกี่ยวข้องกับ $I$.
ในการทำเช่นนั้นเราขอแนะนำสัญกรณ์และคำจำกัดความบางอย่าง
การตั้งค่า $$\omega = \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt{m} & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ \frac{1 + \sqrt{m}}{2} & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4, \\ \end{array}\right. $$ เรามี $$\mathcal{O}(K) = \mathbb{Z} + \mathbb{Z} \omega$$ และคำสั่งใด ๆ ของ $K$ เป็นของแบบฟอร์ม $\mathcal{O}_f(K) \Doteq \mathbb{Z} + \mathbb{Z} f \omega$ สำหรับจำนวนเต็มเชิงเหตุผล $f > 0$[2, เลม 6.1]. ยิ่งไปกว่านั้นการรวม$\mathcal{O}_f(K) \subseteq \mathcal{O}_{f'}(K)$ ถือเป็นจริงถ้าและต่อเมื่อ $f'$ หาร $f$. ถ้า$I$ เป็นอุดมคติของ $\mathcal{O}_f(K)$จากนั้นวงแหวนของตัวคูณ $\varrho(I) \Doteq \{ r \in \mathcal{O}(K) \, \vert \, rI \subseteq I\}$ เป็นคำสั่งซื้อที่เล็กที่สุด $\mathcal{O}$ ของ $K$ ดังนั้น $I$ เป็นแบบฉายภาพกลับด้านเท่ากันตามอุดมคติของ $\mathcal{O}$[2, ข้อเสนอที่ 5.8] ให้เราแก้ไข$f > 0$ และตั้งค่า $$R \Doteq \mathcal{O}_f(K), \quad \overline{R} \Doteq \mathcal{O}(K).$$
อุดมคติ $I$ ของ $R$ถูกกล่าวว่าเป็นแบบดั้งเดิมหากไม่สามารถเขียนเป็น$I = eJ$ จำนวนเต็มเชิงเหตุผล $e$ และอุดมคติบางอย่าง $J$ ของ $R$.
เครื่องมือหลักคือ Standard Basis Lemma [5, Lemma 6.2 และการพิสูจน์]
บทแทรก 2. Let$I$ เป็นอุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $R$. จากนั้นมีจำนวนเต็มเชิงเหตุผล$a, e > 0$ และ $d \ge 0$ ดังนั้น $-a/2 \le d < a/2$, $e$ หารทั้งสอง $a$ และ $d$ และเรามี $$ I = \mathbb{Z} a + \mathbb{Z}(d + e f \omega). $$ จำนวนเต็ม $a, d$ และ $e$ ถูกกำหนดโดยเฉพาะโดย $I$. เรามี$\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$ และจำนวนเต็ม $ae$ เท่ากับบรรทัดฐาน $N_R(I) = \vert R /I \vert$ ของ $I$. ในอุดมคติ$I$ เป็นแบบดั้งเดิมในกรณีที่และต่อเมื่อ $e = 1$.
โปรดทราบว่าตั้งแต่ $\mathbb{Z}a = I \cap \mathbb{Z}$จำนวนเต็มเชิงเหตุผล $a$ หาร $N_{K/\mathbb{Q}}(d + e f \omega)$. เราเรียกคู่สร้าง$(a, d + ef \omega)$พื้นฐานของมาตรฐาน$I$. ให้เราเชื่อมโยงกับ$I$ รูปแบบกำลังสองไบนารี $q_I$ ที่กำหนดโดย $$q_I(x, y) = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(xa + y(d + ef\omega))}{N_R(I)}.$$
แล้วเรามี $$eq_I(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$$ ด้วย $$b = Tr_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega) \text { and } c = \frac{N_{K/\mathbb{Q}}(d + ef \omega)}{a}.$$เรากำหนดเนื้อหา$c(q_I)$ ของ $q_I$ ในฐานะตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสัมประสิทธิ์นั่นคือ $$c(q_I) \Doteq \frac{\gcd(a, b, c)}{e}.$$
สังเกต. เรามี$c(q_I) = \frac{\gcd(a, d, ef)}{e} = \frac{f}{f'} = \vert \varrho(I) / R \vert$ ที่ไหน $f'$ เป็นตัวหารของ $f$ ดังนั้น $\varrho(I) = \mathcal{O}_{f'}$.
อ้างสิทธิ์. ปล่อย$I$ เป็นอุดมคติที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $R$. แล้วเรามี$$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = N_R(I) \vert \varrho(I)/R \vert \text{ with } \vert \varrho(I)/R \vert = c(q_I).$$
หลักฐาน. ตั้งแต่$N_R(xI) = N_R(Rx) N_R(I)$ และ $N_R(Rx) = N_{\overline{R}}(\overline{R}x) = \vert N_{K/\mathbb{Q}}(x) \vert$ สำหรับทุกๆ $x \in R \setminus \{0\}$เราสามารถสรุปได้โดยไม่สูญเสียลักษณะทั่วไปว่า $I$ เป็นแบบดั้งเดิมกล่าวคือ $e = 1$. ตามมาทันทีจากคำจำกัดความที่ว่า$$\overline{I} = \overline{R} I = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}a \omega + \mathbb{Z}(d + f \omega) + \mathbb{Z}v$$ ที่ไหน
$$v = \left\{ \begin{array}{cc} f \omega^2 + d \omega & \text{ if } m \not\equiv 1 \mod 4, \\ f \frac{m - 1}{4} + (d + f) \omega & \text{ if } m \equiv 1 \mod 4. \\ \end{array}\right.$$ตอนนี้การคำนวณแบบฟอร์ม Smith Normalก็เพียงพอแล้ว $\begin{pmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ ของเมทริกซ์ $A \Doteq \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ d & f \\ v_1 & v_2 \end{pmatrix}$ ที่ไหน $(v_1, v_2)$ คือเมทริกซ์ของ $v$ ด้วยความเคารพ $\mathbb{Z}$- ฐาน $(1, \omega)$ ของ $\overline{R}$. ค่าสัมประสิทธิ์$d_1$ เป็นตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสัมประสิทธิ์ของ $A$ และเห็นได้ง่ายว่าจะเป็น $\gcd(a, d, f) = \gcd(a, b, c)$. ค่าสัมประสิทธิ์$d_2$ เป็นตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของ $2 \times 2$ ผู้เยาว์ของ $A$ หารด้วย $d_1$ และเห็นได้ง่ายว่าจะเป็น $\frac{a \gcd(c(q_I), q_I(0, 1))}{d_1} = \frac{a c(q_I)}{d_1}$. ด้วยประการฉะนี้$N_{\overline{R}}(\overline{I}) = d_1 d_2$ มีรูปแบบที่ต้องการ
[1] J. Sally and W. Vasconcelos, "Stable rings", 1974.
[2] C. Greither, "On the two generator problem for the ideals of one--iti ring", 1982
[3] L. Levy and R. Wiegand, "พฤติกรรมที่คล้ายกับแหวนของ Dedekind กับ$2$-generated ideals ", 1985.
[4] D. Eisenbud," Commutative algreba with a view towards algebraic geometry ", 1995.
[5] T. Ibukiyama and M. Kaneko," Quadratic Forms and Ideal Theory of Quadratic Fields ", 2014 .
ฉันกำลังบันทึกเพื่อประโยชน์ของผู้อื่นในความรู้ของฉันอย่างเต็มที่เกี่ยวกับปัญหาทั่วไป Luc Guyot ได้ให้คำตอบที่ดีและชัดเจนสำหรับกรณีของคำสั่งกำลังสอง
ฉันไม่ได้ทำเครื่องหมายว่าโพสต์นี้เป็น "คำตอบ" เนื่องจากคำถามเดิมยังไม่ได้รับคำตอบ
ให้ความคลาดเคลื่อนของไฟล์$T$-ในอุดมคติ $I$ กำหนดเป็น $ds(I) = N_{\overline{T}}(\overline{I})/N_T(I)$ (คำจำกัดความที่ไม่ได้มาตรฐาน)
เมื่อไหร่ $ds(I) = 1$เหรอ?
ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นเครื่องมือหลักของกระดาษ [1] คำสั่งใช้สัญกรณ์ดัชนีโมดูลของ [2]
ทฤษฎีบท [1; ทฤษฎีบท 1]:
- $[\overline{T}:\overline{I}] \subset [T:I]$.
- $[\overline{T}:\overline{I^{-1}}] \subset [I:T]$.
- $[{T}:{I^{-1}}] \subset [\overline{I}:\overline{T}]$.
นอกจากนี้สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่า:
- ความสัมพันธ์ย่อยใด ๆ ระหว่าง (1), (2), (3) คือความเท่าเทียมกัน
- ความสัมพันธ์ย่อยทั้งหมดระหว่าง (1), (2), (3) คือความเท่าเทียมกัน
- $I$ กลับไม่ได้
ทฤษฎีบทนี้มีข้อสรุปต่อไปนี้สำหรับ "ความคลาดเคลื่อน" จำได้ว่าแตกต่างจาก$T$ ถูกกำหนดให้เป็น $\mathfrak D_{T} = (T^\vee)^{-1}$ ที่ไหน $T^\vee$ เป็นคู่ของ $T$ สำหรับแบบฟอร์มการติดตาม
Corollary :$ds(I) \geq 1$ ด้วยความเท่าเทียมกันถ้าและต่อเมื่อ $I$ กลับไม่ได้
Corollary : สิ่งต่อไปนี้เทียบเท่า:
- ความคลาดเคลื่อนของ $\mathfrak D_{T}$ คือ $1$.
- สำหรับทุกอุดมคติ $I$ ของ $T$, $ds(I) = 1$ ถ้าและต่อเมื่อ $T = (I:I)$.
- $T$ คือ Gorenstein
ทุกสิ่งในข้อสรุปเหล่านี้ตามมาทันทีจากทฤษฎีบทยกเว้นจุดที่สองของคอร์โรลลารีที่สองซึ่งตามมาจากการเทียบเท่าที่รู้จักกันดี $T=(I:I) \iff I \text{ invertible}$ เมื่อไหร่ $T$ คือ Gorenstein (เปรียบเทียบเช่น [3; Proposition 5.8] หรือ [4; Proposition 2.7])
กรณีกำลังสอง
[ตามสัญกรณ์ในคำตอบของ Luc Guyot]
การใช้ข้อสรุปข้างต้นเราจะทบทวนกรณีกำลังสอง ความคลาดเคลื่อนไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ความสับสนดังนั้นเราจึงอาจถือว่าเป็นอุดมคติ$I$ เป็นแบบดั้งเดิม ($e = 1$). โดย [5; เลม 6.5] ในอุดมคติ$I$ พอใจ $R = (I:I)$ ถ้าและต่อเมื่อ $\gcd(a,b,c) = 1$. อันที่จริงสูตรสำหรับความคลาดเคลื่อนในคำตอบของ Luc Guyot นั้นแม่นยำ$\gcd(a,b,c)$. (จากคำพูดในคำตอบของ Luc Guyot เรายังมี$ds(I) = f/f'$ ที่ไหน $f$ เป็นตัวนำของ $T$ และ $f'$ เป็นตัวนำของ $(I:I)$.) ดังนั้นสูตร $ds(I) = c(q_I)$ สอดคล้องกับข้อพิสูจน์ที่สอง
ขอบเขตบน
เราจะได้รับขอบเขตบนสำหรับ $ds(I)$ ซึ่งเป็นอิสระจาก $I$. ฉันคิดว่า$T$เป็นโดเมนสำหรับความเรียบง่าย เราอาจจะสมมติว่า$T \neq \overline{T}$ และตั้งค่า $S = \overline{T}$. ปล่อย$\mathfrak f$ แสดงถึงตัวนำของ $T$.
ขอบเขตบน : สำหรับ T-Fractional ในอุดมคติ$I$, $ds(I) \leq |S/T||S/\mathfrak f|.$
สอง $T$อุดมคติของการหักเหอยู่ในสกุลเดียวกันหากเป็นไอโซมอร์ฟิกในท้องถิ่น ในทำนองเดียวกันมี T-ideal แบบกลับด้านซึ่งคูณอุดมคติหนึ่งเข้าไปในอีกอุดมคติหนึ่ง
การอ้างสิทธิ์ : ใด ๆ$T$- เหมาะสำหรับการหักเหของแสง $I$ อยู่ในสกุลเดียวกับ $T$- เหมาะสำหรับการหักเหของแสง $J$ ดังนั้น $\mathfrak f \subset J \subset S.$
หลักฐาน: ให้ $P$ เป็นอุดมคติที่สำคัญของ $T$ และปล่อยให้ $S_P$ แสดงถึงการปิดอินทิกรัลของ $T$(การปิดแบบบูรณาการสื่อสารกับการแปล) มันเพียงพอที่จะสร้าง$T_P$- อุดมคติของการหักเหซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิกถึง $I_P$ ดังนั้น $\mathfrak f_P \subset J_P \subset T_P$ โดยที่ตัวห้อยหมายถึงการดึงด้วย $T_P$. $S_P$เป็นผลิตภัณฑ์ที่ จำกัด ของแหวน Dedekind ในท้องถิ่นดังนั้นจึงเป็น PID ดังนั้น$I_PS_P = \alpha S_P$ สำหรับบางคน $\alpha$ ใน $Quot(T)$. ปล่อย$J_P = \alpha^{-1}I_P$. แล้ว$J_P \subset S_P$แต่ยัง $$J_P \supset J_P \mathfrak f_P = J_P S_P \mathfrak f_P = \mathfrak f_P.$$
การอ้างสิทธิ์ : ความคลาดเคลื่อน$ds(I)$ คงที่ในจำพวก
พิสูจน์: สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการแปลเป็นภาษาท้องถิ่นและใช้อุดมคติแบบกลับหัวของ $T$ เป็นหลักในท้องถิ่น (ข้อเท็จจริงประการหลังนี้มาจาก [5; Proposition 2.3])
เมื่อนำการอ้างสิทธิ์เหล่านี้มารวมกันเรามีไว้สำหรับ $I$ ใด ๆ $T$- เหมาะสำหรับการหักเหของแสง $ds(I) = ds(J)$ สำหรับบางคน $T$- เหมาะสำหรับการหักเหของแสง $J$ ดังนั้น $\mathfrak f \subset J \subset S$. จาก [1; ทฤษฎีบท 1],$|T/J| \leq |S/SJ|$. นอกจากนี้เรายังมี$S\mathfrak f = \mathfrak f \subset SJ \subset S$และอื่น ๆ $|S/SJ| \leq |S/\mathfrak f|$. เขียน$M' = M/\mathfrak f$ สำหรับโมดูลใด ๆ ที่มี $\mathfrak f$. เราเอาอสมการมารวมกัน
$$ds(I) = |S/SJ|/|T/J| \leq |S/\mathfrak f|/ |T/J| = |S'|/(|T'|/|J'|) = |S/T| |J/\mathfrak f| .$$
คำสุดท้ายมีขอบเขตจากด้านบนโดย $|S/T| |S/\mathfrak f|$.
สรุป
ฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน $1 \leq ds(I) \leq |\overline{T}/T||\overline{T}/\mathfrak f|$สำหรับใด ๆ $T$- เหมาะสำหรับการหักเหของแสง $I$และยอมรับสูตรที่ชัดเจนและเป็นธรรมชาติในแง่ของตัวนำในกรณีกำลังสอง อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าจะไม่ทราบว่าฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนสามารถกำหนดให้เป็น "รูปแบบปิด" โดยทั่วไปได้หรือไม่ (เช่นนิพจน์ในแง่ของตัวนำของ$T$ความแตกต่างหรือการเลือกปฏิบัติของ $T$ และ $\overline{T}$, กลุ่ม Ext หรือ Tor มากกว่า $T$ หรือ $\overline{T}$).
อ้างอิง:
[1] I.Del Corso, R. Dvornicich, ความสัมพันธ์ระหว่างการเลือกปฏิบัติ, ผู้แตกต่างและผู้ดำเนินการสั่งซื้อ , 2000
[2] A. Fröhlich สาขาท้องถิ่นจาก JWS Cassels และ A. Fröhlich ทฤษฎีจำนวนพีชคณิต 2510
[3] L. Levy และ R.Wiegand พฤติกรรมเหมือนแหวนของ Dedekind ที่มีอุดมการณ์ 2 อย่างในปี 1985
[4] J. Buchmann และ HW Lenstra, Jr. , การประมาณวงแหวนของจำนวนเต็มในช่องตัวเลข , 1994
[5] วีเอ็มกัลคิน $\zeta$- หน้าที่ของวงแหวนมิติเดียวพ.ศ. 2516