บรรทัดฐานตัวดำเนินการของตัวดำเนินการ Hermitian

Question

ฉันต้องการพิสูจน์ผลลัพธ์ต่อไปนี้ที่กล่าวถึงใน Sadri Hassani: -

อสมการแรกคือ $|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$ตรงไปตรงมาจากนิยามของบรรทัดฐานของตัวดำเนินการ สำหรับอสมการย้อนกลับผู้เขียนได้กล่าวถึงขั้นตอนต่อไปนี้

ฉันคิดไม่ออกว่าพวกเขาได้อสมการโดยใช้ผลลัพธ์ข้างต้นได้อย่างไร นอกจากนี้ฉันคิดว่าผลลัพธ์สำหรับ$4\langle Hx|y\rangle $ ควรมี $-i$ แทน $i$ ในความเท่าเทียมกัน

Answer 1

ด้วยตัวเลือกที่กำหนดสำหรับ $x$ และ $y$คุณมีสิ่งนั้น $\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$ดังนั้นความเท่าเทียมจึงลดลงเป็น $$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$ นอกจากนี้ $\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. จากนั้นใช้เอกลักษณ์ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}