บทบาทของ monotonicity ในลำดับของรูปแบบที่มีขอบเขต

Question

จำได้ว่า; ลำดับ$\left\{x_{n}\right\}$ ของจำนวนจริงกล่าวได้ว่ามีการแปรผันตามขอบเขตหากเอรี $$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$ มาบรรจบกัน

เรารู้ว่าลำดับคอนเวอร์เจนต์ไม่จำเป็นต้องเป็นลำดับของการแปรผันที่มีขอบเขตโดยการรับ $x_n=\frac{1}{n}$ สำหรับคู่ $n$ และ $0$ สำหรับคี่ $n$. แล้วลำดับคอนเวอร์เจนท์แบบโมโนโทนล่ะ? ลำดับของรูปแบบที่มีขอบเขตหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นจะพิสูจน์ได้อย่างไร?

Answer 1

คำแนะนำ: ถ้า $\{x_n\}$ กำลังเพิ่มขึ้น,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$