บูรณาการของ $ \cos x.\cos 2x…\cos nx$

Question

ฉันต้องการรวม $\int \cos x\cos 2x\cdots \cos nx \, dx$.
สิ่งที่ฉันรู้ก็คือ$ \cos x\cos 2x\cdots \cos nx=\dfrac{1}{2^{n-1}}\sum_\pm \cos((n\pm(n-1)\pm\cdots\pm2\pm1)x)$ โดยที่ผลรวมมีค่าทั้งหมด $2^{n-1}$ เป็นไปได้ $\pm$.
แต่เห็นได้ชัดว่านี่เป็นการยากที่จะรวมเข้าด้วยกัน
จากนี้ฉันมารู้เกี่ยวกับสูตรของ Wernerซึ่งฉันคิดว่าค่อนข้างซับซ้อนน้อยกว่าในการแก้ปัญหาข้างต้น แต่ฉันไม่รู้ว่าจะใส่สูตรนี้อย่างไรโดยพลการ$n$ สำหรับปัญหาที่กำหนด

ขอบคุณที่ช่วยฉันล่วงหน้า

Answer 1

คำถามของคุณคือ: $$I_n=\int\prod_{k=1}^n\cos(kx)dx$$ เราสามารถลองใช้ความจริงที่ว่า: $$\cos(kx)=\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2}=\frac{e^{-ikx}}{2}\left(e^{2ikx}+1\right)$$ แล้วพูดว่า: $$\prod_{k=1}^n \cos(kx)=\left(\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}\right)\left(\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1\right)$$ ส่วนแรกนี้ทำได้ง่ายมาก: $$\prod_{k=1}^n\frac{e^{-ikx}}{2}=2^{-n}\exp\left(-ix\sum_{k=1}^nk\right)=2^{-n}e^{-\frac{in(n+1)}{2}x}$$ ตอนนี้ส่วนที่ยากกำลังคำนวณ: $$\prod_{k=1}^n(e^{2ix})^k+1$$ จากนั้นก็รวมผลลัพธ์ที่ได้คือ