จะคลายตัวดำเนินการเหล่านี้ได้อย่างไร?
ฉันจะแก้ปัญหาได้อย่างไร $\beta_k$ ใน: $e^{\alpha_1 G_1 + \alpha_2 G_2 +\alpha_3 G_3 } =e^{\beta_1 G_1} e^{\beta_2 G_2} e^{\beta_3 G_3} e^{\beta_4 G_4}$เหรอ? หมายเหตุไม่มี$\alpha_4$ เทอม.
( นอกจากนี้ยังมีวิธีแก้ปัญหาสำหรับปัญหานี้หรือไม่อ้างถึงคำตอบของ MoisheKohan ที่ Disentangling และจัดลำดับเลขชี้กำลังตัวดำเนินการใหม่จากกลุ่ม Lie )
ที่นี่ $G_k$ แบบฟอร์ม $\mathfrak{gl}_2(\mathbb{C})=\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})\oplus\mathbb{C}$ พีชคณิตโกหก:
$[G_1,G_2]=0,\\ [G_1,G_3]=[G_3,G_2]=G_4,\\ [G_1,G_4]= [G_4,G_2]=G_3,\\ [G_3,G_4]=-2G_1+2G_2$
สิ่งเหล่านี้มีการแสดง: \ begin {สมการ}\begin{aligned} G_1 &= \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\\ G_2 &= \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\\ G_3 &= \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\\ G_4 &= \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix} \end{aligned}\ end {สมการ}
การใช้การแทนค่าเหล่านี้ฉันลงท้ายด้วยสมการเมทริกซ์: \ begin {สมการ}\begin{aligned} \begin{pmatrix}e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\left[\cosh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)+\frac{(\alpha_1-\alpha_2)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)\right]&\frac{2e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\alpha_3\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\\\frac{2e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\alpha_3\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}&e^{\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}}\left[\cosh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)-\frac{(\alpha_1-\alpha_2)}{\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha^2_3}}\sinh\left(\frac{1}{2}\sqrt{(\alpha_1-\alpha_2)^2+4\alpha_3^2}\right)\right]\end{pmatrix} &= LHS \end{aligned}\ end {สมการ}
และ\ เริ่ม {สมการ}\begin{aligned} RHS &= \begin{pmatrix}e^{\beta_1}\left(\cos\beta_4\cosh\beta_3-\sin\beta_4\sinh\beta_3\right)&e^{\beta_1}\left(\sin\beta_4\cosh\beta_3+\cos\beta_4\sinh\beta_3\right)\\e^{\beta_2}\left(-\sin\beta_4\cosh\beta_3+\cos\beta_4\sinh\beta_3\right)&e^{\beta_2}\left(\cos\beta_4\cosh\beta_3+\sin\beta_4\sinh\beta_3\right)\end{pmatrix} \end{aligned}\ end {สมการ}
คำตอบ
ฉันเพียงเขียนสิ่งนี้เพื่อหลีกเลี่ยงความคิดเห็นที่กดดันและปัดป้องและเพื่อเตือนคุณถึงวิธีการมาตรฐาน การเจาะมาตรฐานที่คุณอาจกล่าวถึงในฟิสิกส์ของการหมุน 1/2 ผ่านเมทริกซ์ Pauliมีดังต่อไปนี้
ก่อนอื่นให้ทำความสะอาดสูตรและพารามิเตอร์ของคุณที่ดูเหมือนจะครอบงำคุณอย่างสมบูรณ์$$ G_3=\sigma_1; ~~G_4=i\sigma_2; ~~2G_1=\sigma_3+ I; ~~2G_2=I-\sigma_3; $$ จึงเห็นได้ชัดว่า $G_1+G_2$ อยู่ในศูนย์กลางของพีชคณิตโกหกเมทริกซ์อัตลักษณ์ 2x2 และปัจจัยที่ทำให้เกิดปัญหา: ควรกำจัดด้วยอคติที่รุนแรง
องค์ประกอบพีชคณิตโกหกที่เหลืออีกสามองค์ประกอบไม่มีร่องรอยดังนั้นองค์ประกอบกลุ่มของ $sl(2)$ตอนนี้แมปกับเลขชี้กำลังของเมทริกซ์ 2x2 ที่ไม่มีร่องรอย นั่นคือ,$$ e^{(\alpha_1 + \alpha_2)/2} e^{(\alpha_1-\alpha_2) \sigma_3/2 + \alpha_3 \sigma_1 } =e^{(\beta_1 +\beta_2)/2} e^{(\beta_1 -\beta_2)\sigma_3/2} e^{\beta_3 \sigma_1} e^{i\beta_4 \sigma_2} . $$ กล่าวคือหลังจากที่คุณชื่นชมสิ่งนั้นแล้ว $\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2$หนึ่งαและหนึ่งβซ้ำซ้อนและอาจถูกกำจัดออกไป ทำเช่นนั้นโดยแนะนำตัวแปรที่เตรียมไว้สำหรับความแตกต่างครึ่งหนึ่งเพื่อแก้ปัญหา$$ e^{\alpha' \sigma_3 + \alpha_3 \sigma_1 } = e^{\beta' \sigma_3} e^{\beta_3 \sigma_1} e^{i\beta_4 \sigma_2} . $$ตอนนี้ด้วยการขยายรากฐานที่สำคัญของเวกเตอร์ Pauli ที่เพิ่มในลิงค์ WP ที่ให้มาทำการคูณบน RHS และเทียบเคียงกับการขยายของ LHS หนึ่งการรวมกันของทั้ง 3 ที่เหลือβ s จะถูก จำกัด ให้เป็นศูนย์: โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าสัมประสิทธิ์ของ$\sigma_2$บน RHS ซึ่งไม่มีใน LHS - คุณเห็นไหมว่าทำไม? ดังนั้นจึงมีเพียงสองβเพื่อแก้ปัญหาสำหรับสองα s
ถ้าฉันเป็นคุณผมจะใช้เวลาที่เหลืออยู่ของฉันสองαเพื่อจะบริสุทธิ์จินตนาการดังนั้น LHS เป็นองค์ประกอบกลุ่มsu (2) ; และ$\beta_4$ จริงในขณะที่ $\beta_3$ และ $\beta'$จินตภาพที่บริสุทธิ์ดังนั้นคุณเพียงแค่สร้างองค์ประกอบของsu (2)สามตัวทางด้านขวาเมทริกซ์ 2x2 รวมสามตัวให้เป็นเมทริกซ์รวมที่ จำกัด บน LHS
ให้ฉันบันทึกคำตอบตามความคิดเห็นของฉันโดยไม่ต้องลงรายละเอียด:
สำหรับจำนวนเชิงซ้อนปัญหานี้ไม่มีทางแก้สำหรับค่าทั่วไปของ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
สำหรับค่า "ทั่วไป" ของ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ปัญหามีทางแก้ไขและโดยหลักการแล้วยังมีอัลกอริทึมในการค้นหาอีกด้วย ในที่นี้ "ทั่วไป" หมายถึง: มีความหลากหลายเชิงวิเคราะห์ที่ซับซ้อน$A\subset {\mathbb C}^3$ (พร้อมส่วนเติมเต็มที่ไม่ว่างเปล่า) เช่นนั้นตราบใด $(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\notin A$มีวิธีแก้ไข ยิ่งกว่านั้น: มีระบบสมการพหุนาม$P(M)=0$ (ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อน) ที่ซับซ้อน $2\times 2$ เมทริกซ์ $M$ เช่นนั้นถ้า $M$ พอใจ $P(M)\ne 0$จากนั้นคุณจะพบไฟล์ $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb C}$ ดังนั้น $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$ อีกครั้งโดยหลักการหนึ่งสามารถเขียนสมการได้ $P$ ชัดเจน แต่ฉันจะไม่ทำสิ่งนี้ (อย่าถาม)
คำตอบนั้นแตกต่างกันมากหากคุณพิจารณาค่าสัมประสิทธิ์จริง:
สำหรับทุกเมทริกซ์จริง 2 คูณ 2 ที่กลับหัวได้ $M$ มีจำนวนจริง $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb R}$ ดังนั้น $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$
กุญแจสำคัญในการพิสูจน์คือการพิจารณาการแปลงเศษส่วนเชิงเส้น $$ \gamma: z\mapsto \frac{az+b}{cd +d}, z\in {\mathbb C} $$ สอดคล้องกับเมทริกซ์ (พร้อมค่าสัมประสิทธิ์จริง) $$ \left[\begin{array}{cc} a&b\\ c&d\end{array}\right] $$ น่าพอใจ $ad-bc=1$. แผนที่$\gamma$ ส่งระนาบครึ่งบนที่ซับซ้อน $U=\{z: Im(z)>0\}$ เพื่อตัวมันเองและคงไว้ซึ่งไฮเพอร์โบลิกเมตริก $U$. การแปลงเศษส่วนเชิงเส้น$\gamma_1, \gamma_3$ สอดคล้องกับเมทริกซ์ $\exp(\beta_1 G_1), \exp(\beta_3 G_3)$เป็นไฮเพอร์โบลิกในขณะที่$\gamma_4$ สอดคล้องกับเมทริกซ์ $\exp(\beta_4 G_4)$เป็นรูปไข่ การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นไฮเพอร์โบลิกแต่ละครั้ง$\gamma$ ของ $U$รักษาไฮเพอร์โบลิก geodesic $L_\gamma\subset U$ และทำหน้าที่ $L_\gamma$เป็นการแปลที่แท้จริง geodesic นี้เรียกว่าแกนของ$\gamma$. ในทางตรงกันข้ามการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นรูปไข่มีจุดคงที่ที่ไม่ซ้ำกันใน$U$. (การเปลี่ยนแปลง$\gamma_4$ จะแก้ไขจุด $i\in U$.)
มีหลายสถานที่ที่มีการพูดคุยกับเจ้าหน้าที่คนนี้เช่น
Anderson, James W. , เรขาคณิตไฮเพอร์โบลิก, ชุดคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรีของ Springer ลอนดอน: Springer (ISBN 1-85233-934-9 / pbk) xi, 276 น. (2548). ZBL1077.51008
ตอนนี้คุณสมบัติหลักที่ $\gamma_1, \gamma_3$ พอใจคือแกนของพวกเขาตัดกัน $U$. การใช้อันนี้ตรวจสอบว่าสำหรับคู่ของจุดใด ๆ$z, w\in U$ มีพารามิเตอร์ (จริง) $\beta_1, \beta_3$ ดังนั้น $$ \gamma_1 \gamma_3(z)=w. $$ (ในทางตรงกันข้ามคุณสมบัติการดำรงอยู่นี้จะล้มเหลวหากแกนไม่ตัดกัน) การค้นหาสิ่งนั้น $\gamma_1, \gamma_3$ จำนวนส่วนใหญ่ในการคำนวณจุดตัดกัน (ใน $U$) ระหว่างวงกลมสองวงในระนาบเชิงซ้อนจึงสามารถทำได้อย่างสร้างสรรค์ วงกลมเหล่านี้ (ให้แม่นยำยิ่งขึ้นจุดตัดของวงกลมด้วย$U$) คือวงโคจรบางกลุ่มของกลุ่มพารามิเตอร์ 1 ตัวของการแปลงเศษส่วนเชิงเส้นที่มี$\gamma_1, \gamma_3$.
การใช้สิ่งนี้หนึ่งในการตรวจสอบว่าสำหรับการแปลงเชิงเส้น - เศษส่วนแต่ละครั้ง $\gamma$มีพารามิเตอร์ (จริง) $\beta_1, \beta_3, \beta_4$ ดังนั้น $$ \gamma= \gamma_1 \gamma_3 \gamma_4. $$ ได้แก่ พิจารณา $w=\gamma(i)$ และค้นหา $\gamma_1, \gamma_3$ ดังนั้น $$ \gamma_1 \gamma_3(i)=w. $$ แล้ว $\gamma_3^{-1}\gamma_1^{-1}\gamma$ จะแก้ไข $i$ และด้วยเหตุนี้จะเท่ากัน $\gamma_4$ สำหรับมูลค่าบางส่วนของ $\beta_4$.
จากนี้จะสรุปได้ว่าสำหรับทุกเมทริกซ์จริง $M\in GL(2, {\mathbb R})$ มีพารามิเตอร์จริง $\beta_1,...,\beta_4\in {\mathbb R}$ ดังนั้น $$ M= \exp(\beta_1 G_1)... \exp(\beta_4 G_4). $$ แต่ละขั้นตอนในอาร์กิวเมนต์นี้ไม่ยาก แต่ต้องมีการพิสูจน์และฉันจะไม่พยายามเขียนอย่างใดอย่างหนึ่ง